6. Связь м/д аналитическими и гармоническими функциями.

Если функция f(z)= U’(x,y)+iV(x,y) аналитическая вD, то функцииU (x,y), V(x,y) явл-ся гармоническими, выполняется ур-е Лапласа: ∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0, ∂²v/∂x²+∂²v/∂y²=0, Если функцияU (x,y), V(x,y) явл-ся произвольно выбранными гармоническими, то функцииU (x,y), V(x,y) не будет аналитической, тогда условие Коши-Римана не выполняется. Условие Коши-Римана позволяет определить не известную функцию по ее двум частным производным:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 M/y≡N/x; _x0^xM(x,y)dx+ _y0^yN(x,y)dy=0

7. Интегрирование функции комплексного переменного.

Пусть в области D в плоскости z заданна непрерывная функция:=f(z)= U(x,y)+iV(x,y) и L кусочно-гладкая направленная кривая D._L f(z)dz= f(k)∆z_k; k-произвольна точка дуги.L_k=(z_k-1;z_k). При произвольном разделение дуги наL частей:z0, z1,z2…zn; ∆z_k =z_k -z_k-1; _L f(z)dz=_L U(x,y)dx-V(x,y)dy+i_L V(x,y)dx+U(x,y)dy; x=x(t), y=y(t); t; z= x(t)+i y(t)_L f(z)dz=^_ f[z(t)]z’(t)dt

8. Интегральная теорема Коши.

Теорема для односвязной области:Пустьz функция в односвязной областиD, когдаLD∫_L f(z)dz=0.Теорема для многосвязной области:Пустьf(z) функция в многосвязной областиD.∫_L f(z)dz=∫_L1f(z)dz+∫_L2 f(z)dz+…+∫_Ln f(z)dz. Пример для двухсвязной:∫_L1f(z)dz=∫_L2 f(z)dz, где L1,L2- производные контуры областиD. ^z1_z2 f(z)dz= F(z) ^z1_z2 = F(z2)-F(z1)=F’(z)=f(z).Интегральная формула Коши:1)f(z₀)=1/2Пi_L f(z)/z-z₀ dz_L f(z)/z-z₀ dz=2Пi f(z)_z=z0; 2) f⁽ⁿ⁾(z₀)=n!/2Пi_L f(z)/(z-z₀)ⁿ⁺¹dz _L f(z)/(z-z₀)ⁿ⁺¹dz =2Пi/n! f(z)_z=0.

9. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция F(z)=_z0^z f(z)dz есть первообразная функция дляf(z). _z0^z f(z)dz=F(z)+C. F(z₀)+C=0.С=-F(z₀). Получается:_z0^z f(z)dz=F(z)-F(z₀)-Формула Ньютона-Лейбница.

10. Ряды Лорена.

Пусть f(z) однозначная и аналитичная функция в кольце:f(z)=…+A-3/(z-a)³+A-2/(z-a)²+A-1/z-a+A₀+A₁(z-a)+A₂(z-a)²+A₃(z-a)³+…-называется рядом Лорена. РядA-3/(z-a)³+A-2/(z-a)²+A-1/z-a называется главной частью ряда Лорена, а ряд A₀+A₁(z-a)+A₂(z-a)²+A₃(z-a)³

11.Основная теорема о вычетах.

Пусть а полюс n-го порядка ф-ииf(z),вычет ф-ииf(z) относительно ее полюсеn-ного порядка вычисляется:res f(z)=1/(n-1)! Lim_za d^n-1[(z-a)ⁿf(z)]/dz^n-1; residue- вычет. Если а полюс первого порядкаres f(z)=lim_za(z-a)f(z). Пусть ф-я(z),(z) регулярны точкаz=a.(a)0, (a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ииf(z)=(z)/(z); res_a f(z)=(z)/(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в областиD.f(z)dz=2Пi  res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пустьf(z)аналитическая ф-яfобластиD. Число аD иf(a)0F(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии:resa F(z)=lim_za (z-a)F(z)=limza(z-a) f(z)/z-a= lim_za f(z)=f(a) f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi f(z)dz-формула Коши

12. Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интеграла.

Пусть а полюс n-го порядка ф-ииf(z),вычет ф-ииf(z) относительно ее полюсеn-ного порядка вычисляется:res f(z)=1/(n-1)! Lim_za d^n-1[(z-a)ⁿf(z)]/dz^n-1; residue- вычет. Если а полюс первого порядкаres f(z)=lim_za(z-a)f(z). Пусть ф-я(z),(z) регулярны точкаz=a.(a)0, (a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ииf(z)=(z)/(z); res_a f(z)=(z)/(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в областиD.f(z)dz=2Пi  res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пустьf(z)аналитическая ф-яfобластиD. Число аD иf(a)0F(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии:resa F(z)=lim_za (z-a)F(z)=limza(z-a) f(z)/z-a= lim_za f(z)=f(a) f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi f(z)dz-формула Коши.