3. Алгебра

1. Многочлены и дробно-рациональные функции

SWP предоставляет обширные возможности работы с многочленами. Многочлены можно вводить как в развернутом виде, так и с использованием символа . Опишем, например, ввод многочлена Для этого необходимо:

1. Ввести символ  либо кнопкой панели Common Symbols, либо из меню, вызываемого соответствующей кнопкой панели Math Objects.

2. После использования кнопки «Нижний индекс» ввести в появившееся окно выражение n=0, затем нажать пробел.

3. После использования кнопки «Верхний индекс» ввести в появившееся окно число 10, затем нажать пробел.

4. Набрать выражение nу²ⁿxⁿ.

Если теперь воспользоваться командой Evaluate, то после знака равенства получим развернутое выражение многочлена.

Дробно-рациональные функции это отношения многочленов. Для ввода такой функции можно использовать дробное выражение, символ /, символ . При применении операций Evaluate или Evaluate Numerically получим выражение в виде суммы дробей со знаменателями, равными введенному. Применение операций Compute/Simplify (может вызываться кнопкой панели Compute) и Compute/Factor приводит к обычной форме дробно-рациональной функции, причем последняя из этих операций производит сокращение дроби. Те же операции применимы к суммам и разностям дробей. Приведем соответствующие примеры.

(Simplify),

(Factor).

Применение операций Evaluate или Evaluate Numerically повторяют (с небольшими изменениями) исходное выражение.

Система позволяет производить разложение рациональной дроби на простейшие. Приведем примеры. Пусть необходимо разложить на простейшие рациональную дробь . После ввода дроби, сохраняя курсор в выражении или в его конце, примените командуCompute/Polynomials/Partial Fractions (частичные дроби). Ответ имеет вид =.

Еще один пример: .

Следует иметь в виду, что если в исходной дроби используются только целые числа, то разложение на простейшие дроби, в которых используются нецелые числа, невозможно, если же используется хотя бы одно рациональное число, то разложение осуществимо.

Пример. (Partial Fractions),

(при той же операции).

Если вводится рациональная дробь, зависящая от нескольких переменных, то при выполнении операции Partial Fractions в диалоговом окне вводится наименование переменной, по которой необходимо произвести разложение.

Пример. Требуется разложить на простейшие дроби функцию . Если после вызова командыPartial Fractions в диалоговом окне набрать х и y, то получим разные выражения.

Следующая важная операция – умножение. Перемножать многочлены (в том числе и в сочетании с другими операциями) лучше всего командой Compute/Expand или соответствующей кнопкой панели Compute. Например, (x²2)(x+x³1)+3(x+1)= x⁵x³x²+x+5. Перемножать дробно-рациональные функции лучше с помощью команды Compute/Simplify или соответствующей кнопки панели Compute. Аналогично можно возводить многочлены в степень.

Система позволяет делить многочлены с остатком. Для этого используется команда Compute/Polynomials/Divide (делить). Форма ответа зависит от того, каковы коэффициенты многочленов.

Примеры.

(x⁴2x+1) /(2x1)= 1/2x³+1/4x²+1/8x15/16+1/(2x1),

(x⁴2x+1)/(x/21) = 4+16+8x+4x²+ x³+(174)/(1/2x1)

Для приведения подобных используются две команды: Compute/Polynomials/Collect (собирать) и Compute/Polynomials/Sort (сортировать). Если полином зависит от нескольких переменных, то программа запрашивает, по какой переменной сортировать. Приведем примеры, иллюстрирующие разницу между этими командами.

(xy²x³y²)(2xy+4y²)=(y²x³+y²x)(2yx+4y²) (команда Sort, в диалоге выбрана переменная х),

(xy²x³y²)(2xy+4y²)=2y³x⁴4y⁴x³+2y³x²+4y⁴x (команда Collect, в диалоге выбрана переменная х);

2y³x⁴4y⁴x³+2y³x²+4y⁴x+x³= 2y³x⁴+(14y⁴) x³+2y³x²+4y⁴x (команда Collect, в диалоге выбрана переменная х),

2y³x⁴4y⁴x³+2y³x²+4y⁴x+x³=2y³x⁴y⁴x³+x³+2y³x²+4y⁴x (команда Sort, в диалоге выбрана переменная х).

Примеры показывают, что при исполнении команды Collect попутно происходит перемножение многочленов.

Команда Compute/Factor служит для разложения на множители не только целых чисел, но и многочленов. Разложение в комплексной области не осуществляется, в некоторых случаях не осуществляется и разложение в вещественной области. Например, многочлен х⁴+1 не разлагается стандартным образом .

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, как и для целых чисел, находятся с помощью операций gcd и lcm. Эти обозначения можно либо вводить в математическом режиме (как и другие функции, во время набора символы красные, а по окончании набора становятся зелеными) или из функционального меню панели Math Objects. Многочлены могут иметь как целые, так и вещественные коэффициенты. Например, gcd (0.5x²0.5,0.1x+0.1)= 1.0x+1.0.

Корни многочленов (т.е. значения аргументов, при которых многочлен обращается в 0) ищутся с помощью команды Compute/Polynomials/Roots. Выдаются все корни, в том числе комплексные. При этом если корень многочлена выражается в радикалах, то он выдается именно в таком виде. При попытке найти корни многочленов от нескольких переменных запрашивается переменная, относительно которой надо решить уравнение. В этом случае корни выдаются только в радикалах.

Примеры.

Применение команды Compute/Polynomials/Roots к многочлену х³ – 2.5х+1 дает значения -1.7523, .43232, 1.32, к многочлену х³ – 2х+1 – значения 1, .

Программа дает возможность получать только вещественные корни. Для этого перед вычислением многочлена необходимо исполнить следующее:

1. Набрать в математическом режиме команду assume (real)

2. Активизировать кнопку Evaluate. Получим запись = real.

3. В следующей строке набрать многочлен.

4. Применить команду Compute/Polynomials/Roots.

Если вы хотите снова получать все корни (включая комплексные), то следует

1. Набрать в математическом режиме команду assume (complex).

2. Активизировать кнопку Evaluate. Получим запись = complex.

Многочлен как и любую другую функцию можно вычислить при любых значениях аргументов. Для этого необходимо

1. Выделить многочлен (мышью или с клавиатуры),

2. Нажать кнопку «квадратные скобки»,

3. В положении курсора после закрывающей квадратной скобки нажать на кнопку «нижний индекс».

4. В полученное окно вписать значения переменных в формате х=2, у=3.5i и т.п.

5. Исполнить команду Evaluate.