Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей

3.1 σ-алгебра событий

Пусть Ω— пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножествΩ, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые подмножества Ω, а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств»Ψ. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множествоΨподмножествΩбыло «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементовΨ) снова давало событие (то есть элементΨ ).

Определение 10. МножествоΨ, состоящее из подмножеств множестваΩ, (не обязательно всех!) называетсяσ - алгеброй событий, илиσ – алгеброй подмножествΩ, если выполнены следующие условия:

(A1)Ω  Ψ(σ-алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2) если, то(вместе с любым событиемσ-алгебра содержит противоположное событие);

(A3) еслиА₁, А₂…  Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ-алгебра содержит их объединение).

Условия (A1)–(A3) часто называют «аксиомамиσ - алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Ψотносительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что Ψ не пусто, т.е. содержит хоть один элемент.

Свойство 1.Ψ(σ-алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство. По (A1),Ω  Ψ, но = Ω/ Ω = ¬ Ω Ψв силу (A2).

Свойство 2. При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)

(A4) еслиА₁, А₂… Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ-алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1),(A2) из (A3) следует (A4).

Если А₁, А₂… Ψ, то при всехi = 1, 2,…по свойству (A2) выполнено

Тогда из (A3) следует, что

и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежитΨ, то есть

Но, в силу формул двойственности,

Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.

Свойство 3. ЕслиА, В Ψ , тоА\ ВΨ

Пример 12. ПустьΩ= {1, 2, 3, 4, 5, 6}— пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножествΩявляютсяσ -алгебрами (доказать!):

1. Ψ = { Ω , } ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, }— тривиальнаяσ -алгебра.

2. Ψ = { Ω , ,{1},¬{1}} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},,{1},{2, 3, 4, 5, 6} }.

3. Ψ = { Ω , A,¬A} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},, A,¬A }., гдеA — произвольное подмножествоΩ (в предыдущем примереA ={1}).

Итак, мы определили специальный класс Ψподмножеств пространства элементарных исходовΩ, названныйσ-алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам изΨснова дает множество изΨ(не выводит за рамки этого класса). МножестваАΨмы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событиюставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим какнеотрицательную нормированную меру, заданную наσ-алгебреΨподмножествΩ.