6.2 Дискретные распределения

Определение 25. Говорят, что случайная величинаξимеетдискретноераспределение, если существует конечный или счетный набор чисел{a₁, a₂, …}такой, что:

а) p_i = P{ ξ = a_i} > 0 для всех i;

б).

То есть случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Определение 26. Если случайная величинаξимеет дискретное распределение, назовемтаблицей распределения соответствиеa_i ↔ p_i, которое чаще всего рисуют так:

ξ	а1	а2	а3	…
Р	р1	р2	р3	…

6.3 Примеры дискретных распределений Вырожденное распределение.

Говорят, что случайная величина ξимеет вырожденное распределение с параметрома, и пишутξ  I_aеслиξ принимает единственное значениеас вероятностью 1, то естьP(ξ = a) = 1. Таблица распределенияξ имеет вид

ξ	а
Р	1

Распределение Бернулли.

Говорят, что случайная величина ξимеет распределение Бернулли с параметромр, и пишутξ  В_р, еслиξпринимает значения 1 и 0 с вероятностямири1 - р, соответственно. Случайная величинаξ с таким распределением равначислу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха (0 успехов или 1 успех). Таблица распределенияξимеет вид

ξ	0	1
Р	(1-p)	р

Биномиальное распределение.

Говорят, что случайная величина ξимеет биномиальное распределение с параметрамиnиp, где0  p , nи пишутξ  В_n,р, еслиξ принимает значения0, 1, …,nс вероятностямиP(ξ = k) = C_n^k p^k (1-p)^n-k. Случайная величинаξ с таким распределением имеет смыслчисла успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р.

Таблица распределения ξимеет вид

ξ	0	1	…	k	…	n
Р	(1-p)n	n p(1-p)n-1	…	Cnk pk (1-p)n-k	…	Pn

Геометрическое распределение.

Говорят, что случайная величина τимеет геометрическое распределение с параметромр, где0  p , n, и пишутτ  G_р, еслиτпринимает значения1, 2, 3, …с вероятностямиP(τ = k) = p (1-p)^k-1. Случайная величинаτс таким распределением имеет смыслномера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха р .

Таблица распределения τ имеет вид

τ	1	2	…	k	…
Р	p	Р (1 – р)	…	p (1-p)k-1	…

Распределение Пуассона.

Говорят, что случайная величина ξимеет распределение Пуассона с параметромλ, гдеλ > 0 , иξ  П _λ, еслиξ принимает значения0, 1, 2 …с вероятностями

Таблица распределения ξимеет вид

ξ	1	2	…	k	…
Р	е- λ	λ е- λ	…	(λk /k!)е- λ	…

Гипергеометрическое распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение с параметрамиn,NиK,K  N,n  Nеслиξпринимает целые значения отmax (0, N - K – n )доmin (K ,n )с вероятностями

. Случайная величина ξс таким распределением имеет смыслчисла белых шаров среди n шаров выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей К белых шаров и N-K не белых.

Заметьте, что со всеми этими распределениями мы уже хорошо знакомы.

Но распределения случайных величин далеко не исчерпываются дискретными распределениями. Так, например, если точка бросается наудачу на отрезок [0,1], то можно задать случайную величину, равную координате этой точки. Но число значений этой случайной величины несчетно, так что ее распределение дискретным не является. Да и вероятность этой случайной величине принять каждое из своих возможных значений (попасть в точку) равна нулю. Так что не только таблица распределения не существует, но и соответствие «значение величины вероятность его принять» ничего не говорит о распределении случайной величины.

Какими же характеристиками еще можно описать распределение?