14.2 Слабая сходимость

Пусть задана последовательность с. в., задано некоторое распределениес функцией распределенияи— произвольная с. в., имеющая распределение.

Определение 50. Говорят, что последовательность с. в.присходится слабоилипо распределениюк с. в., или говорят, что последовательность с. в.слабо сходится к распределению , или говорят, чтораспределения с.в. слабо сходится к распределению , и пишут:,или, или, если для любогохтакого, что функция распределениянепрерывна в точкех, имеет место сходимостьпри.

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойство 15. Если, и функция распределениянепрерывна в точкахaиb, то Наоборот, если во всех точкахaиbнепрерывности функции распределенияимеет место, например, сходимость , то.

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 16.

1. Если , то.

2. Если = const, то.

Доказательство.Докажем, что слабая сходимость к постоянной влечет сходимость по вероятности.

Пусть

при любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функции , то есть при всех .

Возьмем произвольное и докажем, что. Раскроем модуль:

(сужаем событие под знаком вероятности)

поскольку в точкахфункциянепрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательностик

Осталось заметить, что не бывает больше 1, так что по лемме о двух милиционерах.

Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.

Свойство 17.

1. Если const и, то.

2. Если const и, то.

Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределения сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

14.3 Центральная предельная теорема

Мы будем называть следующее утверждение «ЦПТ А. М. Ляпунова» (1901), но сформулируем теорему Ляпунова только в частном случае— для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 31 (ЦПТ).

Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией:. Обозначим черезсумму первыхnслучайных величин. Тогда последовательность с. в.слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду наR, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие 18. Пусть— независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

Для любых вещественных x < yприимеет место сходимость

Для любых вещественных x < yприимеет место сходимость

Для любых вещественных x < yприимеет место сходимость

Если — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

Замечание 19. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.