1.2 Основные понятия элементарной теории вероятностей Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость.

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее — основное, что отличает случайноеявление отдетерминированного.

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемым заранее) свойством «статистической устойчивости : «если А — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доляn(A)/nчисла экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментовn, приближаясь к некоторому числуP(A). Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событиюАпроизойти.

В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайных экспериментах, обладающих данными свойствами, а свойство статистической устойчивости докажем в утверждении, известном как закон больших чисел Я.Бернулли.

Пространство элементарных исходов. Операции над событиями

Определение 1.Пространством элементарных исходовΩ(«омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называютэлементарными исходамии обозначают буквойω(«омега») с индексами или без.

Определение 2.Событиямимы будем называть подмножества множестваΩ. Говорят, что в результате экспериментапроизошло событие А  Ω, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множествоА.

Замечание 3. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно все подмножества множестваΩ, а лишь множества из некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.

Пример 1. Один раз подбрасывается одна игральная кость (кубик). Самый разумный способ задать пространство элементарных исходов таков:Ω= {1,2,3,4,5,6}, элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий: A = {1,2}— выпало одно или два очка;A = {1,3,5}— выпало нечетное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается одна игральная кость (кубик). Или, что, то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Как мы увидим в дальнейшем, здесь самый разумный способ задать пространство элементарных исходов — считать результатом эксперимента упорядоченную пару чисел(i, j),в которой1 i, j  6иi - число очков выпавших первый раз,j – число очков, выпавших второй раз.Ω = {(i, j), где 1 i, j  6}

Примеры событий:

A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)}— при первом подбрасывании выпало одно очко;

A = {(1,1),(2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}— при двух подбрасываниях выпало одинаковое число очков.

Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты (а если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить и величину этого угла). Пространство элементарных исходов — множество точек стола (во втором случае — множество пар{x, φ}, гдеx — координата точки стола иφ [0, 2π]— угол поворота). Число элементарных исходов такого эксперимента несчетно.

Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счетного числа исходов:

Ω = {г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, …}, гдер игобозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании, соответственно.

Пример 5. Приведем пример неправильно выбранного пространства элементарных событий. Пусть при бросания игральной кости Ч = {четное число очков}, Т = {число очков, кратное трем}. ТогдаΩ = {Ч, Т, 1, 5}составляет все исходы эксперимента, однако исходы Ч и Т могут наступать одновременно.

Определение 3.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы — событиеΩ.

2. Невозможнымназывается событие которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество»). Заметим, что всегдаΩ.

Определение 4. ПустьА и В — события.

1. Объединением А U В событийА и В называется событие, состоящее в том, что произошло либоА , либоВ, либо оба события одновременно. На языке теории множествА U В есть множество, содержащее как элементарные исходы, входящие вА, так и элементарные исходы, входящие вВ.

2. ПересечениемА ∩ВсобытийА и В называется событие, состоящее в том, что произошли оба событияА и В одновременно. То естьА∩Весть множество, содержащее элементарные исходы, входящие одновременно вА и вВ.

3. ДополнениемА \ ВсобытияА до Вназывается событие, состоящее в том, что произошло событиеА , но не произошлоВ. То естьА \ Весть множество, содержащее элементарные исходы, входящие вА, но не входящие вВ.

4. Противоположным(илидополнительным) к событиюАназывается событие, состоящее в том, что событиеАв результате эксперимента не произошло. Иначе говоря,есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие вА.

Определение 5.

1. События А и В называютсянесовместными, еслиА∩В=.

2. События А₁, А₂ , … А_nназываютсяпопарнонесовместными, если для любыхi ≠ j, 1  i,j  n, событияА_iиА_jнесовместны.

3. Говорят, что событие А влечет событиеВ, и пишутА  В, если всегда, как только происходит событиеА, происходит и событиеВ. На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий вА, одновременно входит и в событиеВ.