Раздел 13. Куда и как сходятся последовательности случайных величин

13.1 Сходимость «почти наверное» и «по вероятности»

Напомню, что случайная величина есть (измеримая) функция из некоторого абстрактного множества Ωв множество действительных чисел. Последовательность случайных величин есть, тем самым, последовательность функций (определенных на одном и том же пространстве элементарных исходовΩ). И если мы хотим говорить о сходимости последовательности случайных величин{ξ_n }^_n=1, не будем забывать, что мы имеем дело не с последовательностью чисел, а с последовательностьюфункций. Существуют разные виды сходимости последовательности функций. Всякий раз давать определение какой-либо сходимости мы будем, опираясь насходимость числовых последовательностей, как на уже известное основное понятие.

В частности, при каждом новом ω  Ωмы имеем новуючисловую последовательность{ξ_n (ω )}^_n=1. Поэтому, во-первых, можно говорить о знакомой из математического анализа (почти) поточечной сходимости последовательностей функций: о сходимости «почти всюду», которую в теории вероятностей называют сходимостью «почти наверное».

Определение 46. Говорят, что последовательность с. в.{ξ_n }сходится почти наверное к с. в.ξ приn  , и пишут:ξ_n  ξп. н., еслиP{ ω: ξ_n (ω )  ξ при n  } = 1.

Иначе говоря, если ξ_n (ω )  ξ при n  для всехω  Ω, кроме, возможно,ω  A, где множество (событие)Aимеет нулевую вероятность.

Заметим сразу: чтобы говорить о сходимости «почти наверное», требуется (по крайней мере, по определению) знать, как устроены отображения ω  ξ_n (ω ). В задачах же теории вероятностей, как правило, известныне сами случайные величины, а лишь их распределения. Известно, то есть, какова вероятность тех элементарных исходовω, для которыхξ_n (ω )принимает значения в заданном множестве. Можем ли мы, обладая только информацией о распределениях, говорить о какой-либо сходимости последовательности случайных величин{ξ_n }к с. в.ξ?

Можно, например, потребовать, чтобы вероятность («доля») тех элементарных исходов ω, для которыхξ_n (ω )не попадает в «ε-окрестность» числаξ (ω ), уменьшалась до нуля с ростомn. Такая сходимость в функциональном анализе называется сходимостью «по мере», а в теории вероятностей — сходимостью «по вероятности».

Определение 47. Говорят, что последовательность с. в.{ ξ_n }сходятся по вероятности к с. в. ξ приn  , и пишут:

если для любого ε > 0

Пример 45. Рассмотрим последовательность с. в.ξ₁ , ξ₂, …, в которой все величины имеютразныераспределения: с. в.ξ_n, n > 0, принимает значения и0иn⁷с вероятностями. Докажем, что эта последовательность сходится по вероятности к случайной величине, равной нулю п. н. (к нулю, проще говоря).

Действительно, зафиксируем произвольное ε > 0. Для всехnначиная с некоторогоn₀ такого, чтоn₀⁷ > εверно равенство (*) ниже

Итак, случайные величины ξ_nс ростомn могут принимать все большие и большие значения, но со все меньшей и меньшей вероятностью.

Замечание 18. Сходимость по вероятности не обязательно сопровождается сходимостью математических ожиданий или моментов других порядков: изне следует, что

Действительно, в примере 45имеет место сходимость, но неверно, что

Если вместо значения n⁷взять, скажем,n(с той же вероятностью1/ n), получим

А если ξ_nпринимает значения0ис теми же вероятностями, что и в примере45, то, но уже вторые моменты сходиться ко второму моментуξне будут:

Сходимость по вероятности обладает обычными для сходимостей свойствами. Например, такими.

Свойство 13. Если, то

1. ;

2. .

Свойство 14.

Если , иg– непрерывная функция, то

Если , иg – непрерывна в точкес, то

Чтобы доказывать сходимость по вероятности, можно просто уметь вычислять при большихn. Но для этого нужно знать распределениеξ_n, что не всегда возможно. Скажем,ξ_nможет быть суммой нескольких других с. в., распределения которых не устойчивы по суммированию, и вычислить распределение их суммы по формуле свертки или как-то еще бывает слишком сложно.

Если бы мы имели неравенства, позволяющие оценить сверху чем-либо, что мы умеем устремлять к нулю и что проще вычисляется, то сходимость по вероятности мы получили бы по лемме о двух милиционерах:. Итак, неравенства П. Л. Чебышёва.