![](/user_photo/1409_eZHEC.jpg)
- •Раздел 1. Классическая вероятностная схема
- •1.1 Основные формулы комбинаторики
- •Теорема о перемножении шансов
- •Урны и шарики
- •Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
- •1.2 Основные понятия элементарной теории вероятностей Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость.
- •Пространство элементарных исходов. Операции над событиями
- •Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов
- •Классическое определение вероятности
- •Гипергеометрическое распределение
- •Раздел 2. Геометрическая вероятность
- •2.1 Что это такое
- •2.2 Задача о встрече
- •2.3 Задача Бюффона
- •2.4 Парадокс Бертрана
- •Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей
- •3.2 Вероятность как нормированная мера
- •Раздел 4. Условная вероятность, независимость
- •4.1 Условная вероятность
- •4.2 Независимость
- •4.3 Формула полной вероятности
- •4.4 Формула Байеса
- •Раздел 5. Схема Бернулли
- •5.1 Распределение числа успехов в nиспытаниях
- •5.2 Наиболее вероятное число успехов
- •5.3 Номер первого успешного испытания
- •5.4 Приближение гипергеометрического распределения биномиальным
- •5.5 Независимые испытания с несколькими исходами
- •5.6 Теорема Пуассона для схемы Бернулли
- •Раздел 6. Случайные величины и их распределения
- •6.1 Случайные величины
- •6.2 Дискретные распределения
- •6.3 Примеры дискретных распределений Вырожденное распределение.
- •Распределение Бернулли.
- •Биномиальное распределение.
- •Геометрическое распределение.
- •Распределение Пуассона.
- •Гипергеометрическое распределение.
- •Раздел 7. Функция распределения
- •7.1 Свойства функции распределения
- •Прочие полезные свойства функций распределения
- •Функция распределения дискретного распределения
- •Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения
- •Свойства плотностей
- •8.1 Примеры абсолютно непрерывных распределений
- •8.2 Свойства нормального распределения
- •Стандартное нормальное распределение
- •Раздел 9. Случайные вектора и их распределения
- •9.1 Свойства функции совместного распределения
- •9.2 Типы многомерных распределений
- •Дискретное совместное распределение
- •Абсолютно непрерывное совместное распределение
- •9.3 Независимость случайных величин
- •Раздел 10. Преобразования случайных величин
- •10.1 Преобразование одной случайной величины
- •10.2 Функции от двух случайных величин
- •10.3 Примеры использования формулы свертки
- •Раздел 11. Числовые характеристики случайных величин
- •11.1 Математическое ожидание случайной величины
- •11.2 Свойства математического ожидания
- •11.3 Моменты старших порядков. Дисперсия
- •11.4 Свойства дисперсии
- •11.5 Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений
- •Раздел 11. Числовые характеристики случайных величин
- •11.1 Математическое ожидание случайной величины
- •11.2 Свойства математического ожидания
- •11.3 Моменты старших порядков. Дисперсия
- •11.4 Свойства дисперсии
- •11.5 Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений
- •Раздел 12. Числовые характеристики зависимости случайных величин
- •12.1 Чем отличается дисперсия суммы от суммы дисперсий?
- •12.2 Коэффициент корреляции
- •12.3 Свойства коэффициента корреляции
- •Раздел 13. Куда и как сходятся последовательности случайных величин
- •13.1 Сходимость «почти наверное» и «по вероятности»
- •13.2 Неравенства Чебышёва
- •13.3 Законы больших чисел
- •13.4 Примеры использования збч и неравенства Чебышёва
- •Раздел 14. Цпт (центральная предельная теорема)
- •14.1 Как быстро сходится к ?
- •14.2 Слабая сходимость
- •14.3 Центральная предельная теорема
- •14.4 Предельная теорема Муавра — Лапласа
- •14.5 Примеры использования цпт
Раздел 11. Числовые характеристики случайных величин
11.1 Математическое ожидание случайной величины
Определение 38.Математическим ожиданиемEξ(средним значением, первым моментом) случайной величиныξс дискретным распределением, задаваемым таблицейP(ξ = аi) = pi, называется число
если указанный ряд абсолютно сходится.
Если же
,
то говорят, что математическое ожиданиене существует.
Определение 39.Математическим ожиданиемEξ случайной величиныξс абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределенияfξ(x), называется число
если указанный интеграл абсолютно
сходится.
Если же
,
то говорят, что математическое ожиданиене существует.
Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точку аiмассуpi(для дискретного распределения), или «размазав» ее с плотностьюfξ(x)(для абсолютно непрерывного распределения), то точкаEξесть координата «центра тяжести» прямой.
Пример 26. Пусть случайная величинаξравна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании кубика. Тогда
в среднем при подбрасывании кубика выпадает 3.5 очка
Пример 27. Пусть случайная величинаξ— координата точки, брошенной наудачу на отрезок[a,b]. Тогда
центр тяжести равномерного распределения на отрезке есть середина отрезка.
11.2 Свойства математического ожидания
Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.
E0. Математическое ожидание случайной величины есть ЧИСЛО!
E1. Для произвольной функции функцияg : R R
Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пустьg(ξ)принимает значенияс1 с2 …с вероятностями
Тогда
E2 Математическое ожидание constравно этойconstEс = с.
E3.constможно вынести за знак математического ожидания:E(с ξ) = с Eξ.
Доказательство. Следует из свойстваE1приg(ξ) = с ξ .
E4.Математическое ожидание суммы любых случайных величин ξ и η равно сумме их математических ожиданий.
E (ξ + η ) = E (ξ )+ E (η)
Доказательство. Для величин с дискретным распределением: пустьxk иyn— значенияξ и η, соответственно.
E5.Еслиξ 0п.н. («почти наверное»,т.е. с вероятностью 1:P(ξ 0 ) = 1), тоE ξ 0;
Если ξ 0п.н., и при этомEξ = 0, тоξ = 0п.н., то естьP(ξ = 0) = 1.
Следствие 11.
Если ξ ηп.н., тоE ξ Eη.
Если ξ ηп.н., и при этомEξ = Eη, тоξ = ηп.н.
E6.Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.: еслиξ и ηнезависимы, то
E(ξη) = Eξ Eη.
Доказательство.
Замечание 16. Обратное утверждение к свойствуE6неверно: из равенстваE(ξη) = Eξ Eη.Не следуетнезависимость величинξ иη.
Пример 28. Пустьφ U0,2π,ξ = cos φ, η = sin φ— заведомо зависимые случайные величины. Но математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий: по свойствуE1
11.3 Моменты старших порядков. Дисперсия
Определение
40. Если,
то число
называетсямоментом порядкаk(k
-м моментом) случайной величиныξ;
называетсяабсолютным моментом порядкаk(абсолютнымk-м моментом) случайной величиныξ;
называетсяцентральным моментом
порядкаk(центральнымk-м моментом) случайной величиныξ;
называется абсолютнымцентральным
моментом порядкаk(абсолютным центральнымk-м моментом) случайной величиныξ.
Число Dξ = E(ξ – Eξ)2(центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величиныξ
Пример 29. Пусть, скажем, случайная величинаξ принимает значение 0 с вероятностью 1-10-5, и значение 100 с вероятностью 10-5. Посмотрим, как моменты разных порядков реагируют на большие, но маловероятные значения случайной величины.
Пример 30. ДисперсияDξ = E(ξ – Eξ)2 есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величиныξот своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.
Пусть случайная величина ξпринимает значения +-1 с вероятностью 1/2, а случайная величинаη— значения ю +-10 с вероятностью 1/2. ТогдаEξ = Eη = 0поэтомуD ξ = E ξ2 = 1, Dη = Eη2 =100. Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этого стержня, закрепленного в центре тяжести.
Определение
40. Если дисперсия величиныξконечна, то числоназываютсреднеквадратичным отклонениемслучайной величиныξ.
Следует хорошо понимать, что из существования моментов больших порядков следует существование моментов меньших порядков. В частности, конечность второго момента (или дисперсии) влечет существование математического ожидания.