Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения

Определение 28.Случайная величинаξимеет называемыеабсолютно непрерывноераспределение, если существует неотрицательная функцияf_ξ(x)такая, что для любогох  R функция распределенияF_ξ(x)представима в виде

При этом функция f_ξ(x) называетсяплотностью распределенияслучайной величиныξ.

Теорема 21.Плотность распределения обладает свойствами:

(f1)f_ξ(x) 0 для любогоx;

(f2)

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 2. Если функцияf обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величинаξна нем, для которойf является плотностью распределения.

Доказательство. ПустьΩ есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функцииf(« подграфик» функцииf). Площадь областиΩравна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величинаξесть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.

Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любогох  R

то естьfявляется плотностью распределения случайной величиныξ

Свойства плотностей

(f3) Если случайная величинаξимеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.

Следствие 4. Если случайная величинаξимеет абсолютно непрерывное распределение, тоP(ξ = х) = 0 для любогох  R.

(f4) Если случайная величинаξимеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения дифференцируема почти всюду, и

для почти всех х.

Замечание 12. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно)х из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл (« площадь подграфика») от этого не изменится.

(f5) Если случайная величинаξимеет абсолютно непрерывное распределение, то

Доказательство. Действительно,

Остальные равенства вытекают из следствия 5.

8.1 Примеры абсолютно непрерывных распределений

Равномерное.

Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что ξимеет равномерное распределение на отрезке[a, b], и пишутξU_a,b если

Заметьте, что в точках aиbфункция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.

Показательное.

Говорят, что ξимеет показательное распределение с параметромα,α > 0иξ Е_α, если

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «не старения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 21.Свойство «Не старения». Пустьξ Е_α. Тогда для любыхх, у > 0

Нормальное.

Говорят, чтоξимеет нормальное распределение с параметрамиаиσ², гдеа  R,σ > 0, и пишутξ еслиξимеет следующую плотность распределения:

для любогоx  R

Убедимся, что f_ξ(x)действительно является плотностью распределения. Так какf_ξ(x) > 0для всехx  R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)

Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

8.2 Свойства нормального распределения

Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функциииначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:

Мы часто будем использовать обозначение для функции распределения нормального распределения с параметрамиа иσ².