64. Многокритериальный подход к принятию решений в условиях определенности с учетом наличия информации о системе предпочтений лица принимающего решение.

Мы имеем довольно большое количество различных постановок многокритериальных задач принятия решений и математический аппарат для их решения. Все методы принятия решений при многих критериях в условиях можно разделить на три группы в соответствии с наличием информации о предпочтениях ЛПР в процессе выбора решения:

1)методы принятия решений в условиях полной информации о системе предпочтения ЛПР;

2)методы принятия решений в условиях отсутствия информации о системе предпочтения ЛПР;

3)методы принятия решений в условиях постепенного получения информации о системе предпочтения ЛПР.

Постановка задачи многокритериального выбора в условиях определенности.

(четкие структурированные представления о системе предпочтения ЛПР)

Задачи выбора в условиях определенности (детерминированные задачи) характеризуются наличием полной и достоверной информации о проблемной ситуации. В этих задачах относительно каждого допустимого решения заранее, еще до его реализации, известно, что оно неизменно приедет к некоторому определенному результату.

В условиях определенности существует однозначная зависимость . Тогда общая математическая модель принятия решений может быть описана отображением следующего вида: , где

• методы лексико-графического упорядочивания по возможности (для качественной информации без перевода в количественную)

Суть состоит в том, что на множестве всех допустимых решений задается полный нестрогий порядок (БО, обладающее свойствами транзитивности, рефлексивности и антисиметричности). В результате все критерии оказываются строго ранжированы и перенумерованы так, что самым главным является , следующим по важности идет и т.д. Такое отношение предпочтения является полным нестрогим порядком.

Поиск оптимального решения для лексикографической постановки задачи может быть осуществлен по следующему алгоритму. Вначале для сравнения альтернатив по предпочтительности используется наиболее важный критерий, а затем, при равенстве его значений привлекается следующий, менее важный по сравнению с первым и так далее.

Однако, следует отметить, что в общем случае лексикографическая задача оптимизации может оказаться неустойчивой, поскольку незначительные изменения входящих в нее параметров (исходных данных) могут серьезно сказаться на выборе оптимальных альтернатив. Поэтому для их решения применяются специальные методы.

Недостаток метода: этот метод основывается только на системе предпочтений ЛПР, поэтому он не является оптимальным. Не используется математический аппарат, только словесное описание.

• Строгий приоритет, строгое ранжирование.

• Допуск локальных уступок

• Равенство приоритетов для групп критериев.

• методы, основанные на интегрированной оценке

• Виды сверток

• Аддитивная (функция ценности)

Функция ценности: любая функция, определенная на множестве вариантов решения, такая что для более предпочтительной альтернативы функция ценности больше.

Функция ценности существует, если бинарное отношение является полным нестрогим порядком и обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности.

Достоинства:

• Можно программировать, облегчение путем автоматизации.

Недостатки:

• Упрощения и искажения.

• Сложный и трудоемкий процесс построения.

• Не универсальность использования.

Кроме того, если бинарное отношение – полный порядок, а множество вариантов решений конечно, то соответствующая функция ценности будет со строгой шкалой. Если множество вариантов решений бесконечно, то бинарное отношение должно быть непрерывным. Соответствующая функция ценности будет с порядковой шкалой.

• Иерархически аддитивное взвешивание (метод анализа иерархий)

Рассматривается некоторая прикладная проблема. Имеются её возможные решения (A₁, A₂, A₃, …, A_m), которые должны удовлетворять соответствующим критериям (K₁, K₂, K₃, …, K_n). Задача состоит в том, чтоб из предложенных решений осуществить выбор наилучшего.

Вначале проводится исследование проблемы на предмет возможности построения иерархии. Затем путем декомпозиции проводится собственно построение иерархии. На первом уровне иерархии всегда располагается цель проводимого исследования. Второй уровень иерархии составляют факторы, непосредственно влияющие на достижение цели (это могут быть локальные цели, выделяемые при необходимости). При этом каждый фактор представляется в строящейся иерархии вершиной, соединенной с вершиной 1-го уровня. Этот процесс построения иерархии продолжается до тех пор, пока в иерархию не будут включены все основные факторы. На нижнем (последнем) уровне иерархии располагаются варианты решения (альтернативы), которые связаны с предыдущим уровнем.

Для сопоставления элементов иерархии используется метод парных сравнений. Т. Саати предложил попарно сопоставлять друг с другом все объекты, находящиеся на одном уровне иерархии и оценивать их значимость относительно объекта, расположенного на предыдущем уровне иерархии и являющегося узлом для сравниваемых объектов. Элементы сравниваются по 9 балльной шкале, предложенной Саати:«1» - присваивается, если элементы одинаково важны; «3» - есть превосходство; «5» - существенное превосходство; «7» - значительное; «9» - абсолютное превосходство; 2, 4, 6, 8 – промежуточные значения.

Для матрицы попарных сравнений справедливы следующие утверждения:

1. Все элементы матрицы являются положительными величинами, т.е.

2. Матрица А является обратно симметричной, т.е. . При этом в матрице заполняется только та часть, которая лежит выше диагонали (правый верхний угол). Остальные элементы вычисляются с помощью обратной симметричности.

3. В матрице А элементы главной диагонали равны 1, т.е. .

Строится множество матриц парного сравнения A = {a_ij}. Процесс построения идет сверху вниз.

Для каждой матрицы парных сравнений рассчитывается собственный вектор весов по следующему алгоритму:

Фактически процесс расчетов представляет собой вычисление среднего геометрического каждой строки.

Затем проводится нормализация данного вектора с целью получения искомого вектора приоритетов по формуле:

Для каждой полученной матрицы парных сравнений А оценивается максимальное собственное значение , удовлетворяющее условию

Теоретически матрица парных сравнений А должна обладать так называемым свойством совместности, т.е. должно выполняться равенство для всех .

Процедура проверки «согласованности» матриц парных сравнений в МАИ достаточно проста. Для этого рассчитываются:

• индекс однородности (непротиворечивости) суждений ЛПР:

• отношение согласованности:

где CC – среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений и имеет табличное значение.

Величина ОС должна составлять не более 10% от среднего, чтобы считать результаты сравнений приемлемыми. В противном случае ЛПР следует перепроверить собственные суждения.

Упрощенный вариант МАИ был предложен В.Д. Ногиным. Его отличие состоит в том, что он свободен от недостатков исходного варианта в части выполнения условия совместности матрицы A.

К требованиям, предъявляемым к матрице парных сравнений, добавляются следующие:

1. Матрица A является совместной, т.е. имеется равенство и оно выполняется для всех .

2. Число m является максимальным собственным значением матрицы A, а вектор-столбец является единственным, для которого выполняется равенство .

Эксперту предлагают сравнивать первый объект со всеми оставшимися, т.е. назначать . Поскольку диагональные элементы матрицы равны единице, в результате получаем значения по всей первой строке матрицы A. Остальные элементы находятся на основе свойств самой матрицы:

Компоненты собственного вектора весов вычисляются по формуле:

Далее элементы собственного вектора нормализуются .

• методы, основанные на ограничении целей.

• Методы, оперирующие отклонениями от оптимальных локальных решений.

• Метод отклонения от идеальной точки (метод целевого программирования)

Основу метода целевого программирования, предложенного А. Чарнсом и В.В. Купером, составляет сведение всех критериев в один обобщенный критерий, направленный на минимум, интерпретируемый как некоторое расстояние d от рассматриваемой векторной оценки х до недостижимой, «идеальной» точки , к которой лицо, принимающее решение, стремиться приблизиться как можно ближе (с точки зрения d).

Таким образом, задача целевого программирования сводится к решению задачи:

Найти ,

где U- множество исследуемых на оптимальность стратегий; К - векторный критерий.

Следует указать на некоторые особенности, присущие критериальному пространству в целевом программировании. Поскольку при вычислении задачи производятся соответствующие арифметические операции, то однородные критерии Kj должны иметь общую шкалу отношений, а коэффициенты , - измерять важность критериев в единой шкале отношений. Отсюда следует, что исходные неоднородные критерии должны иметь количественные шкалы. При менее совершенных шкалах (в частности, порядковой) строить обобщенный критерии в данной задаче бессмысленно.

Недостатки данного метода связаны и с тем, что у ЛПР имеется в распоряжении только вектор : (не говоря уже о вопросах, связанных с реализуемостью данного вектора) и параметр d, а также отсутствует инвариантность множества допустимых решений относительно преобразований шкал, применяемых для оценки допустимых решений по критериям К,.

Кроме того, применение метода целевого программирования так же зависит от решения двух непростых вопросов:

1)Как выбрать вид обобщенного критерия или формулу для расстояния?

2)Как назначить коэффициент важности?

1)Ответ на первый вопрос крайне не прост, поскольку весьма слабо теоретически исследован. Обычно выбор основан на эвристических соображениях с учетом особенностей задачи и удобства проведения расчетов.

2)Вопросы об обосновании вида обобщенного критерия, назначении весов важности остаются открытыми, и поэтому, несмотря на внешнюю привлекательность, корректное их применение в практических ситуациях возможно не всегда.

• Метод замещений

Метод замещений представляет собой простой, но эффективный алгоритм принятия решений в задаче со многими критериями и дискретным набором возможных вариантов решения. В его основе лежит методика равноценного обмена, предложенная Г. Райфой и Р. Кини.

Суть метода заключается в следующем. Варианты решения сводятся в таблицу.

Преимущество метода замещений заключается в том, что мы не накладываем никаких требований на единицы измерения критериев и таким образом можем работать не только с цифрами, но и с качественными характеристиками, измеренными в вербальной по форме шкале.

Основная идея метода замещений в терминах этой таблицы заключается в вычеркивании столбцов (вариантов решений) до тех пор, пока у нас не останется единственное решение. Для того чтобы вычеркнуть столбец, необходимо наличие одного из двух оснований: ситуации формального или практического доминирования.

Формальное доминирование представляет собой реализацию принципа оптимальности по Парето: столбец можно вычеркнуть, если в таблице имеется другой столбец, не уступающий ему ни по одному критерию, а по некоторым превосходящий его.

Практическое доминирование означает, что, хотя в формальном смысле данный столбец не доминируется ни одним другим, он, уступая какому-то другому столбцу по целому ряду существенных критериев (или имея такие же оценки), превосходит его (формально) по каким-то показателям, совокупная важность которых (и/или степень превосходства по которым) незначительна. Ясно, что для установления факта практического доминирования требуется экспертное суждение ЛПР.

Пользуясь концепциями формального и практического доминирования, мы сможем сократить число столбцов исходной таблицы, однако, скорее всего, этого окажется недостаточно для того, чтобы прийти к единственному варианту решения.

Авторы метода замещений говорят, нужно вычеркнуть какие-то строки в таблице. Свойства таблицы при этом изменятся и, возможно, возникнут ситуации формального или практического доминирования, позволяющие дополнительно вычеркнуть еще какие-то столбцы.

Если не рассматривать случай отказа от учета какого-либо критерия в решении, то вычеркнуть строку можно только при условии, что все варианты решения имеют одну и ту же оценку по данному критерию. При этом уже не имеет значения, насколько важен был данный критерий.

Так бывает, но редко. Скорее всего, таких однородных строк в таблице не будет. Для того чтобы удалить неоднородные строки, нужно: улучшая значения оценок в выравниваемой строке, одновременно ухудшать оценки по каким-то другим критериям и наоборот. При этом улучшения и ухудшения должны быть эквивалентны друг другу. Добиться этого особенно легко, если в качестве компенсирующего критерия рассматривать какой-либо показатель, выраженный в денежных терминах: например, затраты или получаемый доход.

65,67. Математические методы выбора решений в условиях неопределенности: игровой подход. Принятие решений в условиях риска: концепция субъективной полезности и методы анализа последствий событий (деревья решений).

Введем множество Z, описывающее состояния среды как источника неопределенности. Мы можем как знать характер распределения Z, так и не знать этого. Общая математическая постановка задачи принятия решений в условиях неопределенности и риска сведется к следующей зависимости: где – некоторая функция реализации и Согласно заданному отображению некоторому решению могут быть поставлены в соответствие различные исходы , где реализация конкретного исхода будет зависеть от состояния фактора неопределенности z.

В условиях полной или «природной» неопределенности отсутствует характеристика связи между альтернативами и исходами, т.е. у нас нет никакой информации о факторе неопределенности z.

В условиях риска

1. Функция полезности –это функция, определяемая на множестве исходов, такая, что для каждого исхода значение этой функции равна полезности этого исхода. Полезность, в отличие от ценности, есть количественный показатель, и измеряется в шкале интервалов. ФП является монотонно возрастающей, если .

Ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов.

Пусть с вероятностью существует возможность получить выигрыш и с вероятностью выигрыш . такая ситуация обозначается и называется лотереей.

Детерминированным эквивалентом лотереи называется величина такая, что ЛПР безразличен выбор между участием в лотерее и получением этого исхода наверняка. ЛПР не склонен к риску, если его ФП выпукла вверх, ЛПР склонен к риску, если его ФП выпукла вниз.

Основные понятия теории субъективной полезности

Ожидаемый выигрыш в лотерее: ;

Ожидаемая полезность лотереи: ;

Полезность ожидаемого выигрыша ;

Детерминированный эквивалент находится из ;

– начальный уровень благосостояния

Продажная цена находится из ;

Покупная цена находится из ;

Премия за риск ;

Неприятие риска по Эрроу-Пратту описывается функцией

Это мера абсолютной несклонности к риску.

К свойствам r(x) относятся:

1. Если , то .

2. Если или , то .

Теперь можно сформулировать и теорему, описывающую соотношение между продажной и покупной ценой лотереи.

1. Если абсолютная несклонность к риску есть убывающая функция от своего аргумента, то имеет место одно из 2x соотношений:

   1. 

   2. 

2. Если абсолютная несклонность к риску есть возрастающая функция от своего аргумента, то имеет место одно из 2x соотношений:

   1. 

   2. 

Этапы построения многомерной ФП:

1. проверка критериев на независимость по полезности факторов друг от друга, проверка на отсутствие аддитивной независимости по полезности.

2. построение однофакторных функций полезности,

1. роста полезности при увеличении аргумента

2. уменьшения полезности при увеличении аргумента

3. нейтральное отношение к риску при увеличении аргумента

3. расчет шкалирующих констант для многомерной функции полезности

1. при отсутствии аддитивной независимости (для двух)

2. при наличии адитивной независимости

4. проверка согласованности построенной ФП с системой предпочтений ЛПР.

2. Методы принятия решений в условиях риска в рамках так называемой теории статистических решений. Здесь полнота учитывается вероятностными характеристиками некоторых событий. Состояниям природы оставлены в соответствие вероятности, заданные экспертно либо вычисленные.

Для измерения риска используются основные статистические показатели ваиабельности: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, средняя арифметическая, коэффициент вариации и полудисперсия.

1. Дисперсия случайной величины X:

2. Полудисперсия, в отличие от дисперсии, которая учитывает отклонение доходности как вверх, так и вниз, учитывает только неблагоприятные отклонения от среднего. Ведь инвестора скорее беспокоят неожиданные убытки, чем прибыли.

- дисперсия; – матожидание, - наблюдаемые значения случайной величины; - вероятность события, - число наблюдений.

3. Среднеквадратичное отклонение:

4. Коэффициент вариации:

5. Если результат решения используется многократно, то можно применить модель Бернулли-Лапласа (критерий недостаточного основания).

Критерий Бернулли-Лапласа (принцип недостаточного основания.) Поскольку распределение вероятностей состояний неизвестно, нет причин считать их различными. Следовательно, используется оптимистическое предположение: вероятности всех состояний природы равны между собой, т.е. . Другими словами, если нет данных к тому, чтобы считать одно событие более вероятным, чем другие, то все события нужно считать равновероятными.

Если при этом представляет получаемую прибыль, то наилучшим решением является то, которое обеспечивает

Если величина представляет расходы лица, принимающего решение, то оператор "max" заменяется на "min".Т.е. критерий выявляет альтернативу с максимальным для матрицы доходов или с минимальным для матрицы потерь средним результатом.

Метод может также использоваться, когда оценены значения вероятности .

1. рассчитывают максимум ожидаемого среднего выигрыша:

2. минимум ожидаемого среднего риска:

3. дерево решений.

Фактически «деревья решений» являются схематичным представлением вариантов принимаемых решений, вариантов возможных следствий и получаемых результатов.

Прежде всего, это древовидные графы, вершины которых могут быть двух типов: вершины - решения и вершины – события.

В соответствии с традиционном представлением, вершина – решение (точка принятия решений) обозначается прямоугольником и соответствует тем решениям, которые должен принимать ЛПР. Вершина – событие обозначается кружком или овалом и является точкой возможных событий или состояний внешней среды. Альтернативные решения или альтернативные состояния (события) внешней среды изображаются «ветвями» (линиями, дугами), исходящими с правой стороны прямоугольников или кружков. Из вершины-решения исходит столько дуг, сколько имеется альтернативных вариантов решений у ЛПР. Из вершины – события также может исходить несколько дуг, но они соответствуют вариантам развития внешней среды (исходам). Поскольку рассматривается ситуация выбора в условиях риска и неопределенности, варианты развития внешней среды находятся вне зоны контроля ЛПР и, следовательно, требуют назначения им вероятностных оценок, т.е. каждому исходу будет назначена вероятность его наступления (статистическим или экспертным путем).

Каждая альтернативная ветвь может заканчиваться либо в другой точке принятия решений или событий (состояний), либо в точке возможного результата (может быть выражен в терминах финансовых итогов или в каких-либо других, но соответствующих целям проводимого исследования.).

Анализ дерева решений начинается с коконечных, или так называемых «висячих» вершин, в которых располагаются возможные оценки результатов деятельности.

Получив оценки конечных исходов, затем получают оценки вершин, непосредственно связанных с висячими вершинами. Оценкой вершины – решения при наличии нескольких ветвей, выходящих из нее, становится та, которая соответствует дуге, приводящей к наилучшему результату.

В условиях неопределенности

1. Теория игр (неопределенность)

Для ЛПР, действующего в условиях неопределенности и невозможности получения дополнительной информации о неопределенных факторах, основными элементами описания ситуации являются:

- множество допустимых стратегий (множество допустимых альтернатив или действий) ЛПР, A: A1, A2….An;

- множество возможных состояний природы (множество значений неопределенного фактора), B: B1, B2…Bn.

Игрок — одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока — его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается как игра. Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры) включает все значения выигрышей (в конечной игре).

В данной матрице элементы — значения выигрышей игрока при выборе стратегии I и состоянии природы j.

Выбор стратегии

Для определения наилучших решений используются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, или альтернативные подходы (в частности принципы Байеса — Лапласа).

Критерий максимакса (крайнего, безудержного оптимизма)

Критерий максимина Вальда (критерий гарантированного результата)

Критерий Сэвиджа (критерий минимального риска)

Критерий Гурвица (баланс оптимизма-пессимизма)