2 Схемы анализа выпуска:

- по хозяйственной отрасли – это заведение подразделения предприятий, находящихся в одном месте и занятым производством относительно однородной продукции.(зерно)

- по чистой отрасли - это производство групп однородных товаров и услуг независимо от того в какой хозяйственной отрасли они произведены.(чугун)

Пользователями МОБ являются все структуры государства.

МОБ модель и ее свойства.

Основные допущения.

1. Основной объект – это отрасль.

2. Каждой отрасли соответствует одно значение валового выпуска.

3. Линейность или однородность (для увеличения выпуска в λ раз необходимо увеличение продукции отраслей также в λ раз).

Вид линейной балансовой модели.(X₁=a₁₁X₁+…+a_1nX_n+Y₁; X_n=a_n1X₁+…+a_nnX_n+Y_n)

X=(E-A)^-1Y; Y=(E-A)X

Коэффициенты прямых затрат. Их свойства могут находится двумя способами:

- статистически a_ij=X_ij/X_j- нормативный.

- На основании технологии производства товара.

Свойства: 1. a_ij≥0; 2. a_ijє[0;1]; 3. ∑a_ij<1по столбцу (если равно единице, то не производится конечный проудкт). По строке возможно равенство. 4. Матрица прямых затрат должна быть продуктивной.

Мы отвечаем на вопрос, способна ли экономика с матрицей A выпускать конечный продукт.

16. Постановка и обоснование задачи оптимального (стационарного) технологического и экономического роста в модели расширяющейся экономики фон. Неймана.

В этой модели производство всех продуктов растет в одном темпе, цены не зависят от времени, прирост производства финансируется путем инвестирования прибыли. Динамическое равновесие в ней характеризуется условием p′ = 1 + z′, где p′ — относительный рост производства (при простом воспроизводстве p′ = 1); z′ — минимальный процент на капитал.

В модели рассматривается ограниченное число (k) технологических способов, выпускающих n продуктов с определенными интенсивностями. Чистый продукт делится на фонд потребления и фонд накопления. На этой основе записывается ряд соотношений, используя которые можно последовательно, шаг за шагом “развивать” процесс производства. Полученная траектория развития системы называется неймановской.

Нейман обобщил модель линейного программирования, учтя временной разрыв между затратами и результатами технологического процесса. Если в модели “Линейное программирование” моменты осуществления затрат и выпуска рассматриваются как одновременные, то в модели фон Неймана матрицы коэффициентов затрат (технологическая матрица) A и коэффициентов выпуска Y отделены друг от друга. Кроме того, предполагается возможным производство любых благ, коэффициенты затрат a_ij относятся не к единице продукта, а к единице “уровня деятельности” (то же относится и к коэффициентам выпуска b_ij). Тогда продукт ВХ, использование которого становится возможным в конце периода, компенсирует затраты AX, и разность между общим продуктом и затратами составляет чистый продукт Y.

Нейман описывает экономику, характеризуемую линейной технологией производственных процессов, которая состоит из p процессов; и их помощью n видов затрат товаров превращаются в n видов продукции. Технология описывается двумя матрицами размера n*p единичных уровней затрат и выпусков соответственно: B где a_jk – затраты продукта j, используемого при единичном уровне интенсивности k-го процесса, а b_jk - выпуск продукта j, произведенного k-м процессом, при его единичной интенсивности, j=1,2,…,n; k=1,2,…,p. Эти коэффициенты затрат и выпуска, конечно, не отрицательны. Далее предполагается, что для каждого процесса необходимы затраты некоторого продукта, т.е. для каждого k существует некоторое j, такое, что a_jk>0 и каждый продукт может быть произведен каким-либо производственным процессом, т.е. для каждого j существует некоторое k, такое, что b_jk>0.

Из этих предположений вытекает требование, что каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

Интенсивности процессов обозначаются вектором-столбцом где - уровень интенсивности процесса k в момент t, k=1,2,…,p. Интенсивности неотрицательны и могут быть пронормированы так, что в сумме дают единицу

Цены продуктов определяются вектором-строкой где - цена продукта j в момент t; j=1,2,…,n. Цены неотрицательны и могут быть пронормированы так, что в сумме дают единицу

Затраты продукта j в процессе k равны a_jky_k, поэтому общие затраты продукта j в момент t будут вектор общих затрат равен Ay(t). Аналогично общий выпуск продукта j в момент t равен и вектор общих выпусков составляет By(t). Предполагается, что производственные процессы требуют один полный период времени для выпуска продукции, поэтому затраты любого продукта не могут превышать выпуска этого продукта в предыдущий период или в матричном обозначении Ay(t+1) By(t).

Однако, если для какого-либо продукта выполняется неравенство, тогда, поскольку предложение превышает спрос, предполагается, что цена падает до нуля, т.е. если , то p_j(t)=0. Умножив данное неравенство на вектор-строку цен, получим p(t)Ay(t+1p(t)By(t).

Если в экономике имеет место совершенная конкуренция, то при равновесии нигде не может быть получена прибыль. Таким образом, для каждого процесса значение выпуска не может превышать значения затрат предыдущего периода или в матричном обозначении p(t+1)B p(t)A.

Если для k-го процесса выполняется строгое неравенство, то так как прибыли являются отрицательными величинами, предполагается нулевая интенсивность, т.е. если , то y_k(t)=0. Таким образом, p(t+1)By(t)=p(t)Ay(t).

Предполагается, что в экономике наблюдается сбалансированный рост в том смысле, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами λ: y_k(t+1)=(1+λ)y_k(t). В матричном обозначении решение этой системы разностных уравнений выглядит следующим образом: где вектор y(t₀) – вектор интенсивностей в момент t₀. Константа λ называется темпом сбалансированного роста экономики.

Предполагается, что цены всех товаров снижаются одинаковыми темпами ρ: (ρ >0) . В матричном обозначении решение этой системы разностных уравнений примет следующий вид: где p(t₀) – вектор цен в момент t₀. Постоянная ρ обозначает норму процента в экономике, которая характеризует заинтересованность во владении деньгами, потому что определенная сумма денег, на которую можно приобрести данное количество какого-либо товара в момент t, даст возможность купить в (1+ρ) раз большее количество того же товара в момент t+1.

В модели для всех t справедливо:

1. 

2. 

При этих условиях существует максимальный темп сбалансированного роста λ^* и минимальная норма процента ρ^*, которые равны между собой.

Это равновесие справедливо для всех периодов времени t при соблюдении предположения о том, что начальные точки p(t₀) и y(t₀) удовлетворяют последнему равенству. Траектория, соответствующая максимальному сбалансированному росту, известна под названием луча фон Неймана.

Кратко:

Особенность: здесь рассматривается равновесия как игра, то есть теория игр. Два игрока государство и предприятие. Предприятие пытается мин свои потери.

Условные обозначения. m - количество выпускаемых товаров; n - количество технологий производства. Множество технологий имеет процессы; Q_j- базисные процессы. Набор базисных процессов образует j-ую технологию.

Любой базисный процесс две составляющие: - затраты Матрица A^m*n; - выпуск Матрица B^m*n. Выпуск и затраты измеряются при единичной интенсивности.

Задача: найти интенсивность.

z_j- вектор инт-ти j-ой технологии. При 1-ой интенсивности мы фиксируем затраты и выпуск каждой технологии.

Допущения модели.

1. Существует конечное число технологий, о которых имеется полная информация.

2. Технология описывается набором чисел, выражающих затраты материальных ресурсов и выпуск продукции при единичной интенсивности применения данной технологии.

3. Каждый продукт выпускается хотя бы одной технологией.

4. Каждая технология затрачивает хотя бы один продукт. .

5. Все технологии можно применять одновременно с произвольными неотрицательными интенсивностями. z_j>0;

6. Единичные интенсивности технологий заданы, фиксируются затраты и выпуск;

7. При увеличении затрат в λ раз выпуск увеличивается в λ раз;

8. Время представлено дискретно. T- горизонт планирования;

9. Рассматриваемая экономика замкнута.

Модель технологического роста Фон Неймана.

AZ=a₁z₁+…+a_mz_m; BZ=b₁z₁+…+b_mz_m.

Необходимо найти z(t) допустимую траекторию интенсивности. Это совокупность интенсивностей, удовлетворяющихAZ(t+1) ≤BZ(t), рассмотренная для всех годов до горизонта планирования.tϵ[0;T]

Модель экономического роста.

P_i(t) - вектор цен i-го продукта в t-ый момент времени

Доход это выручка минус затраты. Доход от j-ой технологии. p^T(t+1)b_j- p^T(t)a_j

Фон Нейман записал, что p^T(t+1)b_j-p^T(t)a_j≤0 и p^T(t)a_j≥p^T(t+1)b_j. Это правило нулевого дохода. Это говорит о том, что ни одна из технологий не приносит доход. В условиях равновесия и в расширяющейся экономике происходит выравнивание нормы прибыли по отраслям, то есть прибыль не создается. p(t)≥0 для любого t.

Затраты поглощают выручку предыдущего периода. Все, что мы получили, мы пускаем на расширение.

Модель динамического равновесия Фон Неймана. С уществует луч, дающий нам идеальный вариант развития. Мы движемся в направлении луча, приближаемся к сбалансированному состоянию. Отклонения возможны только на начальной и конечной точке, связанные с целью общественного развития. Мы рассматриваем динамику изменения интенсивностей технологий.

Технологический рост называется стационарным, если интенсивность использующихся технологий следующего периода в одно и то же число раз или на одно и то же число процентов больше интенсивности текущего периода t.

Для того, чтобы траектория интенсивностей была стационарна, необходимо, чтобы выполнялось αAZ(t)≤BZ(t)

Задача: α→max; αAZ(t)≤BZ(t); z(t)≥0; α>0.

Цена в расширяющейся экономике имеют тенденцию к снижению.

18-19. Экономический рост: определение, пределы, измерение. Простейшие подели экономического роста. Обоснование возможности устойчивого динамического равновесия на примере модели Солоу.

Экономический рост - объемная, количественная сторона развития экономической системы, характеризующаяся расширением ее масштабов. Наиболее распространенная мера экономического роста - темпы изменения ВНП (или ВВП) в расчете на душу населения. Современный экономический рост является переходным процессом от одного устойчивого состояния к другому.

Экономический рост измеряется двумя способами: годовыми темпами роста валового национального продукта (ВНП); годовыми темпами роста чистого национального продукта (ЧНП). Более предпочтительным является второй способ. Экономический рост, рассчитанный в сопоставимых ценах, отражает реальный ЭР, а рассчитанный в текущих ценах – номинальный экономический рост. В качестве основных показателей измерения экономического роста используются: коэффициент роста – отношение показателя изучаемого периода к показателю базисного периода; темп роста – коэффициент роста, умноженный на 100%; темп прироста – темп роста минус 100%. Выделяют два типа экономического роста: экстенсивный; интенсивный.

Среди всех возможных траекторий потребления выделяются так называемые сбалансированные. Их роль аналогична роли стационарных траекторий в модели фон Неймана.

Определение. В неоклассической модели сбалансированными называется такой рост экономики, при котором Y,С,К и L возрастают с одинаковым темпом n.

Очевидно, что в случае сбалансированного роста k(t)=const, C(t)-const . Проанализируем возможность сбалансированного роста. В случае, когда такой рост возможен, среди всех траек­торий сбалансированного роста оптимальной естественно считать такую, при которой потребление на душу населения максимально.

Запишем основное дифференциальное уравнение модели экономического роста:

(4.5)

Перепишем его в виде : f(k)-(n+μ)k= с + . Построим на одном чертеже графики f(k) u(n+ μ)k. В силу свойств f(k) эти графики пересекутся в некоторой точке , которая определяется соотношением (Здесь использовано дополнительное свойство функции . В против­ном случае график f(k) мог бы целиком лежать ниже графика (n+ )k.) На отдельном чертеже изобразим разность этих двух графиков, кото­рая равна c+ . Построения показаны на рис.4.1. Поскольку f ’’(k) < 0, Функция [f(k)-(n+μ)k] имеет единственную точку максимума , кото­рая определяется из соотношения f’( )= (n+μ). ( Графически это означает, что на верхним чертеже рис. 4.1 касательная к графику f(k) в точке имеет угловой коэффициент (n+μ ) .

Рассмотрим три различных уровня постоянного душевого пот­ребления:

1)C(t)=0.

Из уравнения ( 4.5) получаем . Построим эту зависимость, фактически перенеся нижний чер­теж рис.4.1.. График изображен на рис. 4.2.

Из рис.4..2 видно, что =0 (т.е. ) в двух точ­ках: k=0 и . Это Точки равновесия. Первая из этих то­чек, очевидно, не имеет экономического смысла. Поскольку при , то k движется в сторону увеличения. При , поэтому k движется в сторону уменьшения. Эти направления показаны стрелками. Значит, точка равновесия устой­чива: при малых отклонениях k от система о течением времени возвращается в :

2) 0<

Из уравнения (4.5) имеем . Построим эту зависимость, опустив нижний график рис.4.1 на , Полученный график изображен на рис. 4.3.

Из рис 4.3. видны 2 точки равновесия: k₁ и k₂, причем k₁ < k_2. Исследование направления движения системы показывает, что k₁ – точка неустойчивого равновесия, а k₂ – устойчивого.

3)

Из уравнения 4.5. имеем:

Эта зависимость показана на рис. 4.4.

Видно, что единственная точка равновесия,

При этом равновесие неустойчиво. Понятно, что - максималь­ный уровень душевого потребления, при котором возможен сбалан­сированный рост (который можно на неизменном уровне поддерживать сколь угодно долго), поскольку при с > при всех k зна­чение производной отрицательно.

Итак, сбалансированный рост в модели возможен, при уровне душевого потребления с ≤ . Оптимальный сбалансированный рост достигается при с = . Соответствующий уровень фондовооруженности при этом определяется из соотношения

f'(k)=n+μ, (4.6)

которое называется "золотым правилом накопления". Например, при использовании ПФ Кобба-Дугласа из (4.6) получим

откуда

Как увидим в дальнейшем, уравнение (4.6) играет важную роль и в других оптимальных траекториях роста.

20. Синтез оптимальной траектории модели Солоу с постоянной нормой накопления (s(t) = s).

Выпуск в экономике расходуется на потребление и инвести­ции, государство отсутствует, экономика закрытая, так что ос­новное тождество национальных счетов имеет вид у = с + i, где с, i — соответственно потребление и инвестиции на единицу труда с неизменной эффективностью.

Все, что сберегается, инвестируется, т. е. инвестиции равны сбережениям. Одна единица инвестиций превращается без допол­нительных издержек в одну единицу нового капитала. Лаг капи­тальных вложений отсутствует. Сбережения пропорциональны доходу. Норма сбережения s задается экзогенно и постоянна во времени (0 < s < 1). Таким образом, i = sy = sf(k).

Понятия «население» и «рабочая сила» совпадают.

Где L(t) - активное население в момент времени t;

F(K, L) – линейно-однородная производственная функция;

- норма выбытия основных фондов;

n – темп роста активного населения.

Часто используется уравнение динамики модели, выраженное через душевые переменные:

или

;

Где c(t) = C(t)/L(t) - потребление на душу населения (все население = активному населению);

k(t) = K(t)/L(t) – фондовооруженность труда; F(k) = Y(t)/L(t) = F(K,L)/L(t) - производительность труда.

Траектории всех переменных удобно находить на основе траектории фондовооруженности труда k(t), которую, в свою очередь, можно найти, интегрируя дифференциальное уравнение при начальном условии k(0)=k₀ . Например, при использовании производственной функции Кобба-Дугласа.

Запишем для функции Кобба-Дугласа:

Для решения этого дифференциального уравнения можно ввести новую переменную х(t), связанную с k(t) соотношением: =>

;

Подставим данную замену в уравнение

// разделим это выражение на

Поскольку , то

Где

// Выпуск в экономике расходуется на потребление и инвести­ции, государство отсутствует, экономика закрытая, так что ос­новное тождество национальных счетов имеет вид у = с + i, где с, i — соответственно потребление и инвестиции на единицу труда с неизменной эффективностью.

Все, что сберегается, инвестируется, т. е. инвестиции равны сбережениям. Одна единица инвестиций превращается без допол­нительных издержек в одну единицу нового капитала. Лаг капи­тальных вложений отсутствует. Сбережения пропорциональны доходу. Норма сбережения s задается экзогенно и постоянна во времени (0 < s < 1). Таким образом, i = sy = sf(k).

Понятия «население» и «рабочая сила» совпадают.