22. Синтез оптимальной траектории Солоу с переменной нормой накопления.

Выпуск в экономике расходуется на потребление и инвести­ции, государство отсутствует, экономика закрытая, так что ос­новное тождество национальных счетов имеет вид у = с + i, где с, i — соответственно потребление и инвестиции на единицу труда с неизменной эффективностью.

Все, что сберегается, инвестируется, т. е. инвестиции равны сбережениям. Одна единица инвестиций превращается без допол­нительных издержек в одну единицу нового капитала. Лаг капи­тальных вложений отсутствует. Сбережения пропорциональны доходу. Норма сбережения s задается экзогенно и постоянна во времени (0 < s < 1). Таким образом, i = sy = sf(k).

Понятия «население» и «рабочая сила» совпадают.

Где L(t) - активное население в момент времени t;

F(K, L) – линейно-однородная производственная функция;

- норма выбытия основных фондов;

n – темп роста активного населения.

Часто используется уравнение динамики модели, выраженное через душевые переменные:

или

;

Где c(t) = C(t)/L(t) - потребление на душу населения (все население = активному населению);

k(t) = K(t)/L(t) – фондовооруженность труда; F(k) = Y(t)/L(t) = F(K,L)/L(t) - производительность труда.

Найдем оптимальную траекторию переменной нормы накопления и траектории переменных модели по интегральному критерию оптимальности.

Выберем в качестве критерия оптимальности максимум интегрального потребления на душу населения с учетом дисконтирования. Имеем задачу:

Получена стандартная задача оптимального управления, проанализировать и решить которую можно с использованием принципа максимума Понтрягина.

Для описания оптимальных траекторий определяются 2 характерных значения переменной k(t): k* и из соотношений:

При решении задачи вводится сопряженная переменная и переменная , связанная с первой соотношением .

Применение принципа максимума позволяет изобразить области знакопостоянства производных

Эти области показаны на рисунке:

Пусть . Тогда при достаточно большом T оптимальные траектории переменных k(t) и на диаграмме областей знакопостоянства производных выглядят так, как изображено на рисунке:

из условий максимума следует, что при s=1, а при s может принимать произвольное значение в допустимой области. Из рисунка видно, что оптимальная траектория нормы накопления такова:

Где - пока неопределенные моменты времени.

На отрезке времени [0; ]; фондовооруженность труда возрастает от до . Уравнение здесь имеет вид

Отсюда определяется момент T₁

На отрезке времени [ ] фондовооруженность труда не изменяется k(t)=k*

На отрезке времени ] фондовооруженность падает от до . Уравнение будет иметь вид:

Отсюда определяется момент Т₂:

Оптимальные траектории нормы накопления и фондовооруженности труда показаны на рисунке:

Заметим, что описанные траектории оптимальны, если Т достаточно велико, т.е. когда оказывается, что Т₁ < Т₂. Рисунок также позволяет определить случаи сочетания начальных и конечных значений и , при которых нет допустимых траекторий, например, и .