Вопрос 25.2. Общая схема исследования графика функции.
Для качественного исследования графика функции необходимо выполнить следующее.
1. Найти область определения функции.
2. Проверить функцию на четность - нечетность.
3. Проверить функцию на периодичность.
4. Определить точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
5. Исследовать функцию на наличие асимптот.
6. Исследовать
поведение функции в окрестности точек
разрыва (вычислить односторонние
пределы) и при
.
7. Найти области монотонности функции и точки экстремума.
8. Найти точки перегиба и участки, на которых график функции сохраняет направление выпуклости.
Пример 25.3.
Исследовать функцию
и построить ее график.
1. Область определения
.
2. Функция ни четная, ни нечетная.
3. Функция непереодическая.
4. Точка
пересечения с осью x
(корень функции)
,
точек пересечения с осью y
нет.
при
,
при
.
5. Асимптоты функции:
вертикальная ‑
,
так как
,
горизонтальная
,
так как
(применили правило Лопиталя),
(применили правило Лопиталя).
6. Исследуем поведение функции в окрестности граничной точки и при .
Из пункта 5 следует,
что
и
.
7. Исследуем производную.
‑ точка максимума,
что следует из диаграммы
8. Исследуем вторую производную.
;
.
‑ точка перегиба,
что следует из диаграммы
График функции приведен рис. 2.
Рис. 2. График функции .
Конец примера.
Список литературы
Основная литература:
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т.1. ‑ М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 416 с.
Шипачев В.С., Высшая математика. Учеб. для вузов. ‑ 7-е изд., стер. - М.: Высшая школа. 2005. – 479 с.
Шипачев В.С. Курс высшей математики: Учеб. для вузов. ‑ 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Проспект, 2005. ‑ 600 с.
Владимирский Б.К., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. – СПб.: Издательство Лань, 2002. – 960 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: В 3-х т.; Учеб. для вузов инж.-техн. спец. Т. 1 : Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. ‑ 6-е изд., стер. ‑ М.: Дрофа, 2004. ‑ 284 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: В 3-х т.; Учеб. для вузов инж.-техн. спец. Т. 2 : Дифференциальное и интегральное исчисление. ‑ 6-е изд., стер. ‑ М.: Дрофа, 2004. ‑ 509 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для инж.-техн.спец.вузов / - 3-е изд., доп. - Ростов н/Д: Феникс, 1997. - 351с.
Мантуров О.В., Матвеев Н.М., Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. - М.: Высш. шк., 1986. – 480 с.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. ‑ 9-е изд., испр. ‑ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. ‑ 375 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1: Учеб. пособие для втузов.-5-е изд., испр.- М.:Высшая школа, 1997. – 304 с.
Сборник задач по математике для ВТУЗов т.1. Линейная алгебра и основы математического анализа / ред. А.В.Ефимов, Б.П.Демидович - М.:Наука, 1981. ‑ 464 с.
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях Ч. 1: Учеб. пособие для втузов /А.В. Ефимов, Ф.Ф. Каракулин, И.Б. Кожухов, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев. Под ред. А.В. Ефимова, А.С.Поспелова . ‑ 4-е изд. перераб. и доп. ‑ М.: Физ.-матем. лит., 2003. ‑ 288 с.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. ‑ 4-е изд., стер. ‑ М.: Высш. школа, 2004. ‑ 304с.
Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: Математический практикум для экономистов и инженеров: Учебное пособие. -М.: Финансы и статистика, 1999. – 656 с.
Дополнительная литература:
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1984. – 416 с.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1980. – 336 с.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Уч. для универ. ‑ 4-е изд., доп. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1988. – 224 с.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. 3-е издание. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1984. – 296 с.
Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1968. – 912 с.
Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.:Мир, 1980. ‑ 456 с.
Никольский С. М. Курс математического анализа: Учеб. для физ. и мех.-мат. спец. вузов. Т.1. – 4‑е изд., перераб. и доп. ‑ М.: Наука, 1990. – 528 с.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. 4-е издание - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, Ч.1, 1980. ‑ 616 с
Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1984. ‑ 448 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х томах. Т.1. – СПб.: Издательство «Лань», 2001. – 448 с.
Введение в анализ. Ч.1 Методические указания для студентов всех форм обучения инженерных специальностей: 0906, 0908, 1702, 1004, 1005, 1007 /Кубан. гос. технолог. ун-т. Сост.: Н.И. Фомина, И.В. Терещенко, А.М. Кирьяков, 1994. ‑ 18 с
Введение в анализ. Ч.2 Методические указания для студентов всех форм обучения инженерных специальностей: 0906, 0908, 1702, 1004, 1005, 1007 /Кубан. гос. технолог. ун-т. Сост.: Н.И. Фомина, И.В. Терещенко, А.М. Кирьяков, 1995. ‑ 22 с.
Введение в анализ. Ч.3 Методические указания для студентов всех форм обучения инженерных специальностей: 0906, 0908, 1702, 1004, 1005, 1007 /Кубан. гос. технолог. ун-т. Сост.: Н.И. Фомина, И.В. Терещенко, А.М. Кирьяков, 1996. ‑ 22 с.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Методические указания для студентов инженерных специальностей: 09.06, 09.08, 17.02, 18.08, 10.04, 10.05, 10.07, 21.01, 22.04, 35.14, 07.54 по дисциплине «Математика» /Кубан. гос. технолог. ун-т. Сост.: Н.И. Фомина, И.В. Терещенко, А.М. Кирьяков, 2002. ‑ 46 с.
Исследование функций и построение графика. Типовой расчет и методические указания для студентов первых курсов всех специальностей и всех форм обучения /Кубан. гос. технолог. ун-т. Сост.: Р.З. Камалян, К.А. Кирий, Н.Ф. Лещинер. Краснодар, 1997, ‑ 39 с.
Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений /Арутюнов Ю.С., Полозков А.П., Полозков Д.П. ‑ М.: Высш. школа, 1985. – 144 с.