Вопрос 20.2. Дифференциал n-го порядка.

Определение 20.2. Дифференциалом n-го порядка называется произведение и обозначается

.

Дифференциал n-го порядка обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

5) формула Лейбница ,

где

‑ биномиальные коэффициенты, .

Доказательство. Свойства 1) ‑ 3) и 5) есть следствия соответствующих свойств n-й производной. Докажем теперь 4‑е свойство. Пусть x ‑ независимая переменная. Тогда

.

Далее, так как , то , и, следовательно, , поэтому . Тогда последовательно получаем

,

то есть . Аналогично

Продолжая, получим

откуда следует

Пример 20.3. Вычислить от .

Конец примера.

Вопрос 20.3. Теорема Ферма и Ролля.

Определение 20.2. Точка a называется точкой локального минимума функции , если существует окрестность точки a, такая, что для всех x из этой окрестности справедливо неравенство

Определение 20.3. Точка a называется точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки a, такая, что для всех x из этой окрестности справедливо неравенство .

Определение 20.4. Точка а называется точкой локального экстремума функции , если она является или точкой локального минимума, или точкой локального максимума.

Теорема 20.2. (Ферма). Если в точке a имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то (см. рис. 1) .

Доказательство. Пусть a есть точка локального минимума. Тогда для достаточно малых h . Односторонние производные в точке a равны

Отсюда следует равенство .

Конец доказательства.

Теорема 20.3. (Ролля). Пусть и функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b). Тогда обязательно найдется точка c, такая, что a<c<b и .

Рис. 1. К доказательству теорем Ферма и Ролля.

Доказательство. Из непрерывности функции на отрезке следует существование точек и этого отрезка, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения M и m (пусть для определенности и ). Если M=m, то и для всех x из отрезка . Для этого случая теорема доказана. Если , то или , или . Тогда внутри отрезка существует точка локального экстремума c, в которой по теореме Ферма .

Конец доказательства.

Теорема 20.4 (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы внутри этого отрезка. Тогда существует точка c такая, что a<c<b и

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

,

тогда

То есть . Применяя к функции теорему Ролля (проверьте условия ее применимости), получим

.

Откуда

или

Конец доказательства.

Лекция № 21. Теоремы лагранжа и коши.

Вопрос 21.1. Теорема Лагранжа.

Теорема 21.1. (Теорема Лагранжа). Если непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри отрезка, то найдется хотя бы одна точка c такая, что и

Эта формула носит название формулы конечных приращений Лагранжа (см. рис. 1).

Доказательство. Пусть , тогда функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши. Применяя формулу Коши, получим

откуда следует формула Лагранжа

Конец доказательства.

Рис. 1. К доказательству теоремы Лагранжа.

Следствия из теоремы Лагранжа.

Следствие 21.1. Если для всех x из интервала , то на интервале .

Доказтельство. Возьмем две произвольные точки из интервала и применим формулу Лагранжа . Так как , то и, следовательно, . Таким образом, .

Конец доказательство.

Следствие 21.2. Пусть на интервале , тогда монотонно возрастает (убывает) на интервале .

Доказательство. Пусть на интервале , тогда для любых точек из этого интервала , то есть , если . Аналогично рассматривается случай .

Конец доказательства.

Следствие 21.3. Пусть на интервале , тогда монотонно не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Доказательство аналогично доказательству следствия 21.2.

Следствие 21.4. Если на интервале , то для непрерывной на отрезке и дифференцируемой на функции справедливо неравенство .

Доказательство. По формуле Лагранжа . Тогда . Отсюда .

Конец доказательства.