1) Общее уравнение плоскости p.
Из вывода уравнения следует, что одновременно A, B и C не равны 0 (объясните почему).
Точка
принадлежит плоскости P
только в том случае, когда ее координаты
удовлетворяют уравнению плоскости. В
зависимости от коэффициентов A,
B,
C
и D
плоскость P
занимает то или иное положение:
‑ плоскость
проходит через начало системы координат,
‑ плоскость не
проходит через начало системы координат,
‑ плоскость параллельна оси X,
‑ плоскость не параллельна оси X,
‑ плоскость
параллельна оси Y,
‑ плоскость не параллельна оси Y,
‑ плоскость
параллельна оси Z,
‑ плоскость не параллельна оси Z.
Докажите эти утверждения самостоятельно.
2) Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
(6)
Здесь
‑ координаты точки M,
лежащей на плоскости P,
A,
B
и C
‑ координаты вектора, перпендикулярного
плоскости P.
Этот вектор называется нормальным к
плоскости P
(см. рис. 1).
Рис. 1. К выводу общего уравнения плоскости.
Уравнение (6) легко
выводится из уравнения (5). Действительно,
пусть точка
лежит на плоскости P.
Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнению
.
(7)
Вычитая из уравнения
(5) уравнение (7) и группируя слагаемые,
получим уравнение (6). Рассмотрим теперь
два вектора с координатами
и
соответственно. Из формулы (6) следует,
что их скалярное произведение равно
нулю. Следовательно, вектор
перпендикулярен вектору
.
Начало и конец последнего вектора
находятся соответственно в точках
и
,
которые принадлежат плоскости P.
Следовательно, вектор
перпендикулярен плоскости P.
Расстояние от точки до плоскости P, общее уравнение которой , определяется по формуле
(8)
Доказательство этой формулы полностью аналогично доказательству формулы расстояния между точкой и прямой (см. рис. 2).
Рис. 2. К выводу формулы расстояния между плоскостью и прямой.
Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно
где
‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда,
как и в лекции № 11, получается выше
приведенная формула. Две плоскости
параллельны, если параллельны их
нормальные вектора. Отсюда получаем
условие параллельности двух плоскостей
(9)
где
‑ коэффициенты
общих уравнений плоскостей
.
Две плоскости перпендикулярны, если
перпендикулярны их нормальные вектора,
отсюда получаем условие перпендикулярности
двух плоскостей, если известны их общие
уравнения
(10)
Угол f между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами (см. рис. 3) и может, поэтому, быть вычислен по формуле
Рис. 3. Определение угла между плоскостями.
(11)