Лекция № 15. Числовые последовательности.
Вопрос 15.1. Подпоследовательности.
Определение 15.1. Пусть дана последовательность и возрастающая последовательность натуральных чисел
тогда последовательность
называется подпоследовательностью
последовательности
.
Теорема 15.1. Если последовательность сходится, то сходится ее любая подпоследовательность, причем к тому же самому пределу.
Доказательство.
Из сходимости последовательности
следует, что для любого
существует
такое, что для всех
выполняется неравенство
,
но тогда для всех
.
Конец доказательства.
Пример 15.1. Пусть дана последовательность
Эта последовательность сходится
Выделим из нее подпоследовательность
Эта подпоследовательность, согласно теореме 15.1, должна сходится к нулю, что легко доказать непосредственно
.
Конец примера.
Лемма 15.1. (Принцип вложенных отрезков) Всякая бесконечная система вложенных отрезков содержит хотя бы одну общую точку.
Доказательство.
Бесконечной системой вложенных отрезков
называется система отрезков вида
,
где
и
монотонные последовательности,
ограниченные сверху величиной
,
а снизу ‑ величиной
.
В силу этого существуют пределы:
,
причем для любого
n
справедливы неравенства
.
Выбрав a, мы найдем искомую точку.
Конец доказательства.
Лемма 15.2.
(Сравнительный
признак сходимости) Пусть даны три
вещественные последовательности, n-е
члены которых связаны неравенствами
.
Если сходятся последовательности
и
то сходится и последовательность
,
причем
Доказательство.
Из условия леммы следует неравенство
.
Тогда, из определения предела
последовательности, следует, что для
любого
существует число
,
такое, что для всех
справедливы неравенства
или
Тогда выполняется неравенство
Откуда
или
Конец доказательства.
Используем леммы 15.1 и 15.2 для доказательства теоремы 2.
Теорема 15.2. (Больцано ‑ Вейерштрасса) Всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Если последовательность
ограничена, то все ее n-е
члены удовлетворяют неравенству
.
Выберем любой член последовательности
и разделим отрезок. Из двух полученных
отрезков выберем тот, который содержит
бесконечно много членов последовательности.
Затем повторим процесс вновь и вновь,
выбирая каждый раз перед делением
отрезков произвольный член
последовательности. В результате
получим вложенную систему отрезков,
длина которых стремится к нулю, и
подпоследовательность, удовлетворяющую
неравенствам
где
‑ выделенная подпоследовательность.
Из доказательства леммы 15.1 следует существование пределов
.
Так как длина вложенных отрезков стремится к нулю
то
,
а из леммы 15.2 следует, что сходится и
подпоследовательность
Конец доказательства.
Определение 15.2.
Числовая последовательность называется
последовательностью Коши или
фундаментальной, если для любого
существует натуральное число
такое, что для
и любого натурального p
справедливо неравенство
для всех p=1,2,3,...
.
Теорема 15.3. Сходящаяся последовательность фундаментальна.
Доказательство.
Если
,
то для любого
существует
такое, что для всех
справедливо неравенство
.
Следовательно, для любого натурального p
откуда
Конец доказательства.
Теорема 15.4. (Критерий Коши) Если последовательность фундаментальна, то она сходится.
Доказательство. Доказательство теоремы проводится в два этапа. На первом этапе доказывается ограниченность фундаментальной последовательности. На втором этапе с помощью теоремы Больцано-Вейерштрасса устанавливается наличие сходящейся подпоследовательности и доказательство на этой основе сходимости самой последовательности.