3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Рис. 4. Плоскость, проходящая через три точки .

‑ координаты заданной точки ,

‑ координаты заданной точки ,

‑ координаты заданной точки .

Действительно, пусть даны три точки . Пусть произвольная точка плоскости P. Тогда вектора

лежат в одной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю, что и выражает равенство (12).

Лекция № 13. Аналитическая геометрия.

Вопрос 13.1. Прямая в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.

1) Общее уравнение прямой.

Прямая может рассматриваться как пересечение двух плоскостей (см. рис. 1). Пусть каждая плоскость задана общим уравнением, тогда прямая L задается общими

Рис. 1. К выводу уравнений прямой в пространстве.

уравнениями

(1)

где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам . Последнее условие является условием непараллельности двух плоскостей. Вектора и - являются нормальными к плоскости и . Следовательно, эти вектора перпендикулярны и самой прямой L.

2) Каноническое уравнение прямой.

Прямую можно задать другим способом. Пусть точка принадлежит прямой L и пусть вектор параллелен данной прямой (см. рис. 1). Если точка принадлежит прямой, то вектор параллелен вектору . Условие параллельности двух векторов позволяет записать каноническое уравнение

(2)

Это уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно направляющему вектору .

Если прямая задана общими уравнениями (1), то не сложно получить каноническое уравнение, направляющий вектор которой равен векторному произведению (см. рис. 1)

(3)

3) Параметрические уравнения прямой.

Пусть в каноническом уравнении введен параметр t

Тогда можно записать параметрические уравнения

(4)

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть прямая проходит через две точки . Тогда вектор является направляющим, следовательно, можно записать каноническое уравнение

(5)

Если даны две прямые с направляющими векторами , то:

a) две прямые параллельны, если

, (6)

b) две прямые перпендикулярны, если

, (7)

c) косинус угла между прямыми

. (8)

Вопрос 13.2. Кривые второго порядка. Канонические уравнения.

Определение 13.1. Кривой второго порядка на плоскости называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

(9)

Вид уравнения не меняется от перехода к другой системе координат.

Существует только три типа кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола. В некоторой системе координат кривая второго порядка описывается наиболее простым уравнением. Такое уравнение называется каноническим. Приведем канонические уравнения для эллипса, гиперболы и параболы:

эллипс: ,

 ‑ полуоси эллипса (a ‑ большая полуось, b ‑ малая полуось), если a=b , то эллипс превращается в окружность.

гипербола: , .

парабола: , .

Рассмотрим теперь свойства и характеристики этих кривых:

эллипс (см. рис. 2) ‑ имеет два фокуса , сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов в данном эллипсе постоянна ‑ , если в один из фокусов поместить точечный источник света, то лучи свет отразившись от эллипса, соберутся во втором фокусе; число называется экцентриситетом и является мерой его сплюснутости (при эллипс является окружностью).

Рис. 2. Эллипс.

гипербола (см. рис. 3) ‑ имеет два фокуса , модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до фокусов в данной гиперболе постоянен ; число называется экцентриситетом гиперболы и является мерой ее сплюснутости. Гипербола имеет две асимптоты и две ветви.

Рис. 3. Гипербола.

парабола (см. рис. 4) ‑ имеет один фокус , если в фокусе поместить точечный источник света, то лучи света, отражаясь от параболы, пойдут параллельно оси x.

Рис. 4. Парабола.