Вопрос 21.2. Правила Лопиталя - Бернулли.

Теорема 21.2. Пусть и дифференцируемы на интервале и являются бесконечно малыми функциями в окрестности точки a. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует и предел , причем оба предела равны.

Доказатедьство. Так как и бесконечно малые функции, то и . Переопределим функции в точке x=a, положив . Возьмем любую сходящуюся к a последовательность аргументов из отрезка [a,b] . Применяя к отрезку теорему Коши, получим

Так как , то последовательность сходится к a. Поэтому получим

Отсюда следует доказываемая теорема.

Конец доказательства.

Замечание. Теорема с соответствующими изменениями справедлива при .

Пример 21.1. .

Конец примера.

Теорема 21.3. Пусть и дифференцируемы на интервале и являются бесконечно большими функциями в окрестности точки a. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует и предел , причем оба предела равны.

Замечание. Теорема с соответствующими изменениями справедлива при .

Пример 21.2.

Конец примера.

Замечание. Если для и выполняются условия одной из теорем, то правила Лопиталя-Бернулли можно применять дважды и более число раз

Пример 21.3.

Конец примера.

Вопрос 21.3. Раскрытие неопределенностей.

a) Неопределенность вида ‑ сводится к неопределенности вида

.

Пример 21.4. Вычислить предел .

.

Конец примера.

b) Неопределенность вида сводится к неопределенности вида .

Пример 21.5.

,

так как (смотри пример 2).

Конец примера.

с) Неопределённости вида логарифмированием сводятся к неопределенности вида .

Пример 21.6.

поскольку

.

Конец примера.

Лекция № 22. Формула тейлора.

Вопрос 22.1. Формула Тейлора.

Определение 22.1. Окрестностью точки x называется любой открытый интервал , содержащий эту точку.

Определение 22.2. Функция ‑ называется n раз дифференцируемой в точке x, если в некоторой ее окрестности она обладает производной ‑ го порядка, а в точке x она имеет производную n-го порядка.

Определение 22.3. Пусть в некоторой окрестности точки a n раз дифференцируема. Многочленом Тейлора n-го порядка этой функции по степеням (x-a) называется многочлен вида

.

Рассмотрим свойства этого многочлена. Для этого вычислим производные многочлена Тейлора:

,

,

,

....................................................................................................................

.

Отсюда получаем, что при x=a

Поэтому при стремлении функция и ее производные эквивалентны многочлену Тейлора и его производным:

Здесь учтено, что в окрестности точки a функция имеет непрерывные до n‑1 ‑го порядка включительно непрерывные производные. Введем новую функцию

Определение 22.4. Пусть n раз дифференцируема при x=a и определена в некоторой окрестности точки a. Формула

,

где

называется формулой Тейлора n-го порядка.

Формула Тейлора была установлена Иоганом Бернулли и переоткрыта Бруком Тейлором (1715 г.). Ее смысл следующий. Если остаточный член в некоторой окрестности точки a мал, то можно заменить с достаточной точностью на более простую функцию . Если a=0, то формула Тейлора называется формулой Маклорена.