Лекция № 19. Функции одной переменной.

Вопрос 19.1. Дифференцирование функции заданной параметрически.

Определение 19.1. Пусть даны две функции

Тогда, если существует обратная функция , то сложная функция называется заданной параметрически.

Теорема 19.1. (Дифференцирование функции заданной параметрически). Если определяют параметрически заданную функцию и дифференцируемы в точке t, то

Доказательство. Представим параметрическую функцию в виде сложной функции

и продифференцируем ее

Конец доказательства.

Пример 19.1. , отсюда

, отсюда

Конец примера.

Вопрос 19.2. Таблица производных.

Вычисление производной любой элементарной функции можно свести к вычислению производной от небольшого числа функций. Эти производные собраны в таблицу и называются табличными. Таблица производных играет в дифференциальном исчислении туже роль, что и таблица умножения в арифметике.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  ;

9.  ;

10.  ;

11.  ;

12.  ;

13.  ;

14.  ;

15.  ;

16.  ;

17.  ;

18.  ;

19.  ;

Докажем справедливость формул 1 ‑ 3. Начнем с формулы 2

,

где использован тот факт, что (смотри второй замечательный предел). Теперь, используя правило дифференцирования сложной функции, получим

Формула 2 выводится с помощью производной от обратной функции.

Формула 3 легко получается из формул 1 и 2

Докажем справедливость формул 4 ‑ 11. Начнем с формулы 4

Заменим и на эквивалентные им функции

,

тогда получим

.

Формула 5 следует из формулы 4, если положить , формулы 6 и 7 получаются по правилу дифференцирования дроби и использования основного тригонометрического тождества. Формулы 8-11 выводятся на основе теоремы о дифференцируемости обратной функции. Например, формулы 8 и 10

тогда

,

тогда

.

Аналогично получаются формулы 9 и 11.

Вопрос 19.3. Дифференциал функции.

Определение 19.2. Дифференциалом дифференцируемой функции называется произведение

,

где ‑ приращение аргумента, которое обычно обозначают через dx и называют дифференциалом аргумента, тогда

.

Пример 19.2. .

Конец примера.

Правила вычисления дифференциалов.

Эти правила прямо следуют из правил дифференцирования (смотри лекцию № 18).

Теорема 19.2. (Инвариантность формы первого дифференциала). Дифференциал функции имеет один и тот же вид, независимо от того является ли t ‑ независимой переменой или нет.

Доказательство. Пусть t независимая переменная, тогда

Пусть теперь . Тогда

или

.

Конец доказательства.

Лекция № 20. Функции одной переменной.

Вопрос 20.1. Производная n-го порядка.

Определение 20.1. Пусть дана функция . Производной n‑го порядка от функции называется производная от производной ‑го порядка .

Производная второго порядка обозначается

или или

Производная третьего порядка обозначается

или или

Точками порядок производной принято указывать в теоретической механике. Производные более высоких порядков обозначают, указывая порядок или арабскими или римскими числами

, или .

Пример 20.1. Вычислить производную второго порядка от .

Конец примера.

Для производной n-го порядка справедливы формулы

1) ,

2) ,

3) ,

4) формула Лейбница ,

где

‑ биномиальные коэффициенты, .

Пример 20.2.

,

.

Конец прмера.