Лекция № 1. Теория множеств.

Вопрос 1.1. Элементы теории множеств.

Понятие множества. Под множеством понимается совокупность объектов любой природы, называемых элементами множества.

Это понятие в математике является первичным и не определяется через другие. Если элемент a принадлежит множеству A, но пишут , если нет, то пишут . Запись означает, что каждый элемент a из множества A принадлежит множеству B. В таком случае говорят, что B содержит A.

Запись A = B (равенство) означает и .

Существует два способа задания множества:

а) множество задается перечислением всех его элементов

б) множество определяется как совокупность только тех элементов некоторого множества T, которые обладают общим свойством 

,

где означает, что элемент x обладает свойством .

Пример 1.1. .

Операции над множествами.

1. Объединение множеств A и B: .

Это множество состоит из элементов, принадлежащих или множеству A, или множеству B, или одновременно обоим множествам.

2. Пересечение множеств A и B: .

Это множество состоит из элементов, принадлежащих одновременно множеству A и множеству B.

3. Разность множеств A и B: .

Это множество состоит из элементов, принадлежащих множеству A но не множеству B.

4. Дополнение множества A до X: .

Эта операция выполняется над множествами, принадлежащими одному и тому же множеству X.

Операции над множествами удобно представлять в графической форме через диаграммы Венна (см. рис. 1), на которых множества изображаются некоторой плоской областью

Рис. 1. Диаграммы Венна.

Соотношения двойственности (правила де Моргана).

Если , то

Докажем первое соотношение, используя диаграммы Венна

Рис 2. Доказательство соотношений двойственности.

Определение 1.1. Множество X называется счетным, если оно содержит конечное число элементов, или может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами (то есть все его элементы можно занумеровать). В противном случае множество называется несчетным.

Пример 1.2. Множество целых чисел Z счетно. Расположим целые числа

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...

и занумеруем их по порядку.

Можно показать, что множество рациональных чисел счетно, а множество вещественных чисел несчетно.

Лекция № 2. Комплексные числа.

Вопрос 2.1. Определение комплексных чисел.

Комплексные числа впервые встречаются в работах итальянских математиков, начиная с середины XVI века (Кардано, Бомбелли). К тридцатым годам XIX века была построена не противоречивая теория комплексных чисел (Гаусс, Гамильтон и др.). К этой теории мы и переходим.

Определение 2.1. Упорядоченной парой вещественных чисел называется пара чисел, для которой известно какое число считается первым, а какое вторым.

Определение 2.2. Множеством комплексных чисел называется множество упорядоченных пар вещественных чисел , для которых определены отношения равенства и операции сложения и умножения по следующим правилам:

a) отношение равенства: две пары равны если ,

б) сложение: ,

в) умножение: .

Комплексное число , для сокращения записи, будем обозначать буквой z. Действительные числа x и y называют соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначают символами и . Множество всех комплексных чисел обозначают буквой C.

Из определения операций сложения и умножения комплексных чисел вытекают следующие алгебраические законы:

1)  ‑ коммутативный (или переместительный) закон сложения;

2)  ‑ ассоциативный (или сочетательный) закон сложения;

3) ‑ коммутативный (или переместительный) закон умножения;

4) ‑ ассоциативный (или сочетательный) закон умножения;

5)  ‑ дистрибутивный (или распределительный) закон относительно сложения.

Доказательство.

Действительно

1)  ;

2) 

3) 

;

4) 

;

5) 

.

Конец доказательства.

Замечание 2.1. Определение операции умножения для комплексных чисел не очевидно, однако именно при таком определении на множестве комплексных чисел отсутствуют делители нуля.

Число называется комплексным нулем и обозначается 0. Его роль аналогична роли вещественного нуля:

Лемма 2.1. Комплексный ноль единственен.

Доказательство. Пусть существует второе число , такое что . Тогда

.

Конец доказательства.

Число называется противоположным к числу z, если:

.

Лемма 2.2. Для любого комплексного числа противоположное к нему число существует и единственено, причем .

Доказательство. Очевидно, что

.

Пусть существует второе число , такое что . Тогда

,

.

Отсюда .

Конец доказательства.

Определение 2.3. Число называется единицей и обозначается 1. Ее роль аналогична роли вещественной единице:

для любого .

Лемма 2.3. Единица единственена.

Доказательство. Пусть существует второе число , такое что . Тогда

.

Конец доказательства.

Число называется обратным к числу z, если:

.

Лемма 2.4. Для любого комплексного числа , не равного нулю, обратное к нему число существует и единственено, причем .

Доказательство. Пусть и . Тогда

.

Отсюда

Умножая первое уравнение на x, а второе – на y и складывая, получим

или .

Умножая первое уравнение на , а второе – на x и складывая, получим

или .

Отсюда найдем обратное к z число

.

Пусть существует второе число , такое что . Тогда

,

.

Отсюда .

Конец доказательства.

Выделим еще раз свойства операций сложения и умножения комплексных чисел:

1)    (сложение коммутативно);

2)    (сложение ассоциативно);

3)    (особая роль нуля);

4)  (для каждого z существует противоположное число );

5)    (коммутативно);

6)    (умножение ассоциативно);

7)  , , , (особая роль единицы);

8)  , (для каждого существует обратное число );

9)    (умножение дистрибутивно относительно сложения)

Отсюда заключаем, что относительно операции сложения множество комплексных чисел образует абелеву группу.

Определим теперь операцию вычитания двух комплексных чисел

Очевидно, что если , то . Далее, так как верно равенство , то по соглашению .

Введем теперь операцию деления. Так же как и для вещественных чисел, будем считать комплексное число z результатом деления комплексного числа на комплексное число , если .

Покажем, что операция деления определена для любых комплексных чисел и , за исключение деления на комплексный ноль. Итак, пусть результат деления , где x и y неизвестны. Имеем

Отсюда получаем алгебраическую систему двух линейных уравнений

Умножим первое уравнение на , а второе на и сложим, затем умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем его из первого, тогда получим

Отсюда

,

Если , то и деление невозможно.

Законы алгебраических операций над комплексными числами совпадают с законами алгебраических операций над вещественными числами. Поэтому, все алгебраические соотношения для вещественных чисел переносятся на комплексные числа.

Пример 2.1. .

Это есть известная формула разности квадратов двух чисел.

Это есть формула квадрата суммы двух чисел.

Конец примера.

Формулы умножения и деления двух комплексных чисел запоминать не следует, так как в следующем Вопросе лекции №2 будут указаны простые способы выполнения этих операций путем представления комплексного числа в одной из трех форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.