2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

. (12)

Здесь ‑ координаты точки , лежащей на прямой L, A и B ‑ координаты вектора, перпендикулярного прямой L. Этот вектор называется нормальным к прямой L (см. рис. 2).

Рис. 2. К выводу уравнения прямой, проходящей через заданную точку , перпендикулярно заданному вектору .

Уравнение (12) легко выводится из уравнения (11). Действительно, пусть точка лежит на прямой L. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению

. (13)

Вычитая из уравнения (11) уравнение (13) и группируя слагаемые, получим уравнение (12). Рассмотрим теперь два вектора с координатами соответственно. Из формулы (12) следует, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, вектор перпендикулярен вектору . Начало и конец вектора находятся соответственно в точках , которые принадлежат прямой L. Следовательно, вектор перпендикулярен прямой L.

3) Каноническое уравнение прямой.

(14)

Это уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору , поскольку равенство и есть условие параллельности векторов и (см. рис. 3). Последний вектор , как определено в пункте 2, лежит на прямой L.

Рис. 3. К выводу канонического уравнения прямой.

Каноническое уравнение легко выводится из уравнения (12), если положить . Отсюда становится ясно, что одновременно не могут равняться 0. Однако, возможно, что по отдельности или l или m равны нулю. Пусть, к примеру, , тогда

(15)

это уравнение равносильно уравнению , так как направляющий вектор параллелен оси Y, а сама запись уравнения понимается формально. Пусть теперь m=0, тогда

(16)

это уравнение равносильно уравнению , так как направляющий вектор параллелен оси X, а сама запись уравнения понимается так же формально.

4) Параметрические уравнения прямой.

Это уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору . Они легко получаются из уравнения (14), если положить

В заключение лекции выведем формулу расстояния между точкой и прямой L, общее уравнение которой . Очевидно, что это расстояние равно модулю проекции вектора на нормальный вектор (см. рис. 4).

Рис. 4. К выводу формулы расстояния между точкой и прямой L.

Тогда

.

Но и , поэтому

. (19)

Лекция № 12. Аналитическая геометрия.

Вопрос 12.1. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости.

Пусть P плоскость в пространстве. Выберем декартову систему координат так, чтобы плоскость XY совпала с плоскостью P. Уравнение плоскости P в этой системе координат . Нужно определить вид уравнения плоскости в любой другой декартовой системе координат. Рассмотрим вспомогательную лемму.

Лемма 12.1. Пусть в пространстве заданы две произвольные системы координат CS и . Тогда координаты произвольной точки М пространства в системе координат CS и связаны соотношениями

Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 11.1 из лекции № 11. Используя лемму 12.1, докажем теперь теорему:

Теорема 12.1. В любой системе координат плоскость P описывается линейным уравнением

(4)

Доказательство. Пусть CS произвольная система координат. Выберем новую систему координат так, чтобы плоскость совпала с плоскостью P. Тогда уравнение плоскости P будет . Согласно лемме 1, и мы получаем уравнение

, (5)

в котором

Конец доказательства.

Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.