17. Полярный момент инерции и его определение для круглого сечения.

18. Полярный момент инерции и его определение для кольцевого сечения.

Полярный момент инерции круга

Д ля круга вначале вычисляют поляр­ный момент инерции, затем - осевые.

Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец.

Площадь каждого кольца можно рас­считать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответ­ствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца: dA = 2πpdp.

Подставим это выражение для площа­ди в формулу для полярного момента инер­ции:

; .

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

.

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

,

где d - наружный диаметр кольца; d_BH - внутренний диаметр ко­льца.

Если обозначить d_BH / d = с, то

.

19. Наибольшие касательные напряжения при кручении. Полярный момент сопротивления круглого сечения.

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что , где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле.

.

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

.

Обычно Jp / ρ_max обозначают W_p и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

.

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу

.

Для круглого сечения ; .

Для кольцевого сечения , где .

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

,

где [т_к] — допускаемое напряжение кручения.

20. Полярный момент сопротивления кольцевого сечения. Угол закручивания.

Внутренний сосредоточенный момент M_х , лежащий в плоскости поперечного сечения вала, можно выразить через касательные напряжения, которые, согласно закону Гука, при сдвиге связаны с деформацией или с учетом (угловая деформация, - относительный угол закручивания). Тогда элементарный внутренний момент (4.20) где dA- площадь элементарной площадки, лежащей в сечении вала н

р асстоянии ρ от центра тяжести сечения; τ_p­d A - элементарная окружная сила.

Суммируя элементарные моменты по площади сечения, получаем

выражение для внутреннего сосредоточенного момента. или Так как произведение постоянно для всех точек сечения, то Интеграл представляет собой геометрическую характеристику поперечного сечения и носит название полярного момента инерции сечения. Таким образом, или Произведение называется жесткостью сечения стержня при кручении. Получим выражение для касательного напряжения из которого следует, что напряжения вдоль радиуса изменяются по линейному закону и наибольшее напряжение при кручении возникает на периферии сечения: или где - геометрическая характеристика сечения, которая называется полярным моментом сопротивления.

— относительный угол закручивания.