26. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

27. Определение нормальных напряжений при чистом плоском изгибе.

Растягивающие и сжимающие напряжения в поперечных сечениях балки соответствуют удлинению и укорочению ее продольных волокон. Слой, длина которого не изменяется при изгибе, не испытывает напряжений и называется нейтральным слоем.

Итак, при изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются одно относительно другого вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. Каждое поперечное сечение поворачивается вокруг линии его пересечения с нейтральным слоем. Эта линия называется нейтральной осью поперечного сечения.

Высказанное положение носит название гипотезы плоских сечений.

Деформации волокон не зависят от положения волокон по ширине балки. Следовательно, нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются одинаковыми по ширине балки.

Исходя из этих гипотез, найдем величину удлинения какого-либо волокна балки при чистом изгибе.

Положим, что два близких поперечных сечения балки (рис.2) повернулись одно относительно другого на угол . Радиус кривизны нейтрального слоя балки, или ее изогнутой оси, обозначим р, а длину волокна, лежащего в нейтральном слое между рассматриваемыми сечениями, - l. Координату у условимся считать положительной в сторону выпуклости и отрицательной в сторону вогнутости. Удлинение рассматриваемого волокна , а относительное удлинение (продольная деформация):

Выражая длины дуг l и l1 через соответствующие радиусы и центральный угол , имеем: Подставив эти значения, получим т. е. относительные удлинения волокон прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя.

Зная относительное удлинение, можно применить закон Гука для линейной деформации и выразить нормальное напряжение: Эта зависимость определяет линейный закон распределения нормальных напряжений по сечению балки (рис.3). По ширине балки (при определенном у) напряжения постоянны. Наибольшего значения нормальные напряжения достигают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, причем со стороны выпуклости балки эти напряжения растягивающие , а со стороны вогнутости — сжимающие . В точках нейтральной оси х (при у = 0) напряжения равны нулю. После подстановки полученного для 1/р значения в формулу , произведя сокращение, определим нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки при чистом изгибе:

28. Нейтральная ось. Зависимость кривизны нейтральной оси от изгибающего момента и жесткости на изгиб; формула для нормальных напряжений при чистом изгибе (без вывода).

Нейтральная ось (в сопротивлении материалов) — линия в поперечном сечении изгибаемой балки, в точках которой нормальные напряжения, параллельные оси балки, равны нулю. Нейтральная ось делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие нормальные напряжения, а в другой — сжимающие.

Изогнутая балка. Нейтральный слой показан пунктиром. Его пересечение с поперечным сечением балки даёт нейтральную ось.

формула связывает кривизну нейтрального слоя, а значит кривизну изогнутой оси балки, со значением изгибающего момента М и жесткостью сечения балки EJx относительно нейтральной оси.

Кривизна нейтрального слоя ( изогнутой оси бруса) прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна произведению модуля продольной упругости материала бруса на момент инерции его поперечного сечения относительно нейтральной оси

Эта зависимость определяет линейный закон распределения нормальных напряжений по сечению балки (рис.3). По ширине балки (при определенном у) напряжения постоянны. Наибольшего значения нормальные напряжения достигают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, причем со стороны выпуклости балки эти напряжения растягивающие , а со стороны вогнутости — сжимающие . В точках нейтральной оси х (при у = 0) напряжения равны нулю. (адиус кривизны нейтрального слоя балки, или ее изогнутой оси, обозначим р, расстояниям у от нейтрального слоя.) Подставив 1/р значения в формулу произведя сокращение, определим нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки при чистом изгибе:

,

30. Момент инерции сечения относительно оси. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей.

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:

1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох

;

2) осевой момент инерции сечения относительно оси Оу

.

Оси Охо и Ох параллельны

При параллельном переносе прямоугольной системы осей у_оОх_о в новое положение у_оО_х зна­чения моментов инерции J_X, J_y, J_xy заданно­го сечения меняются. Задается формула переход без вывода.

J_x = J_xo + Aa²,

Здесь J_x – момент инерции относительно оси О_х;

J_xo – момент инерции относительно оси Ох_о;

А — площадь сечения;

а — расстояние между осями О_х и Ox_о

30. Моменты инерции прямоугольного, круглого и кольцевого сечений относительно их осей симметрии.

Осевые моменты инерции прямоугольника

Представим прямоугольник высотой h и шириной b в виде сечения, составленного из бесконеч­но тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy=dA. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Ох.

;

; получим: .

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осе­вого момента инерции относительно оси Оу, получим:

.

Очевидно, что при h > b сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.

Для квадрата: h = b; .

Полярный момент инерции круга

Д ля круга вначале вычисляют поляр­ный момент инерции, затем - осевые.

Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец.

Площадь каждого кольца можно рас­считать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответ­ствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца: dA = 2πpdp.

Подставим это выражение для площа­ди в формулу для полярного момента инер­ции:

; .

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

.

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

,

где d - наружный диаметр кольца; d_BH - внутренний диаметр ко­льца.

Если обозначить d_BH / d = с, то

.