1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

чах кола (рис.7.18, б):

iC (t) +iR2 (t) +iL (t) =iвх(t) ;

Диференціальні рівняння (7.40) і (7.41) при визначенні перехідних характеристик перетворюються до однотипних рівнянь:

коефіцієнти загасання відповідно для послідовного і паралельного кіл.

Отже, рівняння (7.40) і (7.41), а також аналогічні рівняння для дуальних відгуків кіл відрізняються тільки співвідношеннями для коефіцієнтів загасання,

Очевидно, що перехідні характеристики g1 (t), g2 (t), g3 (t) безрозмірні, а імпульсні – h1 (t), h2 (t), h3 (t) мають розмірність 1/c.

Слід зазначити, що активний опір R2 паралельного кола інакше впливає на характер перехідних процесів і часових характеристик, ніж опір

R2 < 0,5 L / C = 0,5ρ , добротність Q2 = R2 / ρ < 0,5 ;

2)критичний режим відповідає випадку δ2 = ωрез, R2 = 0,5ρ, Q2 = 0,5;

3)при коливальному режимі δ2 < ωрез, R2 > 0,5ρ, Q2 > 0,5.

Виведення виразів для перехідних характеристик спрощується, якщо використати результати аналізу перехідних процесів у послідовному колі R, L, C при увімкненні постійного джерела Е (див. п. 6.3.4) і підставити в отримані там співвідношення E =1(t) . Знайдені у такий спосіб вирази для перехідних харак-

теристик із застосуванням формул (6.60) – (6.62), (6.63) – (6.65), (6.66) – (6.68),

а також співвідношення uR (t) = i(t)R зведені до табл.7.1 і 7.2. Тут же наведені

отримані згідно з виразом (7.29) формули для імпульсних характеристик розглянутих кіл.

Таблиця 7.1 – Часові характеристики аперіодичних кіл R, L, C

У табл.7.2, крім точних формул для розрахунку часових характеристик коливальних кіл R, L, C, наведені приблизні вирази для характеристик резонансних контурів з високою добротністю (Q >>1).

Правильність співвідношень табл.7.1 і 7.2 підтверджується розмірностями часових характеристик (перехідні – безрозмірні, а імпульсні – мають розмірність 1/c), початковими та вимушеними значеннями перехідних характе-

ристик g1(+0) = g2 (+0) = 0 ; g3 (+0) =1; g1(∞) =1; g2 (∞) =g3 (∞) = 0 , а також су-

марними значеннями характеристик відповідно до законів Кірхгофа (другого – для послідовного кола і першого – для паралельного):

g1 (t) + g2 (t) + g3 (t) =1(t) ; h1 (t) + h2 (t) + h3 (t) = δ(t) .

На рис.7.19 – 7.21 зображені графіки часових характеристик для основних режимів. Дельта-функцію містять тільки імпульсні характеристики h3 (t) ,

оскільки g3 (+0) =1, а g1(+0) = g2 (+0) = 0 . Графіки часових характеристик g3 (t) і h3 (t) , а також умовне зображення дельта-функції, яка входить до складу h3 (t) , показані пунктирними лініями.

Рисунок 7.20 – Графіки часових характеристик коливальних кіл R, L, C (Q = 2): а – перехідні; б – імпульсні

Імпульсні характеристики з фізичної точки зору описують вільні процеси, які проходять за рахунок запасу енергії, отриманого від вхідної дельта-функції.

У момент часу t = +0 послідовне коло є розімкненою ділянкою за рахунок індуктивності (iL (−0) = 0 ), а паралельне – коротким замиканням, оскільки

uC (−0) = 0 . Дія δ(t) у першому випадку призводить до появи стрибка струму і

Рисунок 7.21 – Графіки часових характеристик кіл R, L, C

звисокою добротністю (Q = 15): а – перехідні; б – імпульсні

7.4Запитання та завдання для самоперевірки

іконтролю засвоєння знань

1.У чому полягає обмеженість застосування класичного методу для аналізу проходження сигналів у лінійних електричних колах?

2.На якому принципі ЛЕК грунтується часовий метод аналізу перехідних процесів?

3.Як визначається і які властивості має типова дія у вигляді одиничної

функції?

4.Дати визначення перехідної характеристики кола g(t) і пояснити її фізичне

значення. Яку розмірність має g(t) ? Як експериментально знайти g(t) ?

5. Які співвідношення існують між g(t) і H (ω) для граничних значень t та ω? Як пов’язані граничні значення з коефіцієнтами диференціального рівняння кола?

Рисунок 7.22 – Схема кола

7.Як визначається і які властивості має типова дія у вигляді дельта-функції? Чи порушуються при цій дії закони комутації?

8.Дати визначення імпульсної характеристики кола h(t) . Які її розмірність і

фізичне значення? Як експериментально знайти імпульсну характеристику?

9.Який аналітичний зв’язок існує між імпульсною і перехідною характеристиками кола? Коли імпульсна характеристика містить дельтаподібний доданок?

10.Знайти імпульсну характеристику кола (рис.7.22), використовуючи її зв’язок з перехідною характеристикою.

11.Яким співвідношенням для кіл R, C; R, L першої групи між сталими часу і часовими параметрами дії відповідає неспотворена передача та інтегрування дії?

12.За яких співвідношень між сталими часу кіл R, C; R, L другої групи і часовими параметрами дії існує неспотворене відтворення і диференціювання дії?

13.Як пов’язані стала часу і гранична частота смуги пропускання типових кіл

R, C; R, L?

14.Перевірити для імпульсних характеристик високодобротних коливальних

контурів виконання співвідношення 2∆ωпτ = 2, де τ =1/ δ – стала часу.

15. Яку з часових характеристик доцільно використовувати для аналізу відгуку кола на ступінчасту дію?

8 ОПЕРАТОРНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ КІЛ У НЕСТАЦІОНАРНОМУ РЕЖИМІ

Класичний метод дослідження кіл у нестаціонарному режимі є ефективним за наявності у колі не більше двох незалежних накопичувачів енергії та за умови, що коло живиться в усталеному режимі від джерела постійної чи синусоїдної напруги (струму). При цьому вільна і вимушена складові мають певне фізичне значення, а їхні параметри можна дослідити безпосередньо за схемою кола. Збільшення порядку кола суттєво ускладнює обчислення сталих інтегрування, які визначають вільні коливання. Крім того, при дії джерела коливань довільної форми визначення вимушеної складової стає громіздкою задачею. За цих умов ефективнішим є розв’язання диференціального рівняння кола за допомогою операційного числення. Одним з перших вітчизняних вчених, хто застосував операційне числення для інтегрування лінійних диференціальних рівнянь, був М.Є. Ващенко-Захарченко1.

Метод аналізу кіл у нестаціонарному режимі з використанням операційного числення має назву операторного методу.

Операторний метод не потребує визначення сталих інтегрування і початкових значень відгуку, а дозволяє, розв’язуючи алгебраїчні рівняння, складені на підставі закону Ома та законів Кірхгофа, отримати функцію, однозначно пов’язану з відгуком.

8.1 Пряме перетворення Лапласа. Оригінали і зображення

Операторний метод грунтується на перетворенні функції f (t) дійсної змінної t (миттєвого значення струму чи напруги) у функцію F( p) комплексної змінної p (оператор p = σ + jω має назву комплексної частоти) за допомогою прямого перетворення Лапласа2:

1Ващенко-Захарченко Михайло Єгорович (1825–1912) – український математик.

Народився у Полтавській області, навчався у Київському університеті, потім у Парижі. Монографія «Символічне числення та його застосування до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь» (1862) була однією з перших робіт з операційного числення. Надрукував низку посібників з математики (елементарна геометрія, короткий курс теорії визначників, аналітична геометрія та алгебраїчний аналіз).

2Лаплас П’єр Сімон, Laplace (1749–1827) – французький математик, фізик і астроном, член Паризької, Петербурзької та інших АН. Автор багатьох фундаментальних робіт з математики, експериментальної і математичної фізики та небесної механіки. Розвинув теорію диференціальних рівнянь, теорію ймовірностей, теорію помилок. Займався питаннями теплопровідності, електродинаміки. Запропонував новий метод обчислення орбіт небесних тіл, розробив теорію руху супутників Юпітера, визначив величину стиснення Землі біля полюсів тощо.

Функція дійсної змінної f (t) називається оригіналом, а відповідна їй функція комплексної змінної F( p) − зображенням за Лапласом або просто зоб-

раженням. До простору оригіналів належать функції, які:

1) мають нульове значення при від’ємних значеннях аргументу: f (t) = 0 , t < 0 (з огляду на це, нижня межа інтеграла (8.1) дорівнює нулю, а пе-

ретворення (8.1) має назву однобічного);

2) мають обмежене зростання: f (t) < Meσt , де M , σ − дійсні додатні ве-

личини; 3) належать до кусково-неперервних функцій, котрі зі своїми похідними

досить високого порядку є неперервними при всіх значеннях t > 0 , крім скінченної кількості точок розриву першого роду.

Слід зазначити, що всі дії, які генеруються реальними джерелами, − це функції, що задовольняють наведеним вимогам, тобто належать до простору оригіналів. Відповідність зображення оригіналу позначається: F( p) = L [ f (t)] і

є однозначною ( L − оператор Лапласа). Функції F( p) утворюють простір зображень і мають низку властивостей, що полегшує перехід до оригіналу.

8.2 Зображення деяких дій

Нижче розглянуті деякі дії, які описуються простими функціями і часто зустрічаються на практиці. Як і раніше (див. розд.6 і 7), вважається, що комутація (перехід кола у нестаціонарний режим) відбувається у момент часу t = 0 .

Увімкнення до кола джерела постійної напруги чи струму можна описати функцією

f (t) = A 1(t) ,

де A − константа, яка залежно від типу джерела вимірюється у вольтах чи амперах; 1(t) =1, t ≥ 0 − функція Хевісайда.

Зображення функції 1(t) визначають за формулою (8.1):

Якщо дією є експоненційний імпульс, оригінал, що йому відповідає, запи-

сують як f (t) = Ae−αt 1(t) , де A = f (0) ; коефіцієнт α (одиниця вимірювання

c-1) визначає швидкість спаду імпульсу.

Перетворення Лапласа від цієї функції визначається за формулою:

0

Добуток двох функцій δ(t) та e−pt відрізнятиметься від нуля тільки при t = 0 , оскільки δ(t) ≠ 0 , якщо t = 0 . Другий множник у цей момент часу стано-

Співвідношення для деяких складніших функцій, що належать до простору оригіналів, наведені у табл.8.1.

Таблиця 8.1 – Відповідності зображень і оригіналів

Закінчення табл. 8.1

Переходячи від оригіналів до зображень, доцільно використовувати властивості прямого перетворення Лапласа. Більшість з цих властивостей формулюється у вигляді теорем, наведених у табл.8.2.

Таблиця 8.2 – Властивості перетворення Лапласа