1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

3.Якщо максимальний степінь полінома чисельника m , а знаменника n , то між ними, як правило, існує співвідношення: m ≤ n .

4.Знаменник ОПФ є V ( p) – характеристичним поліномом (8.64), який

утворює характеристичне рівняння, що має дійсні від’ємні або комплексноспряжені корені з від’ємною дійсною частиною (Re pk < 0) . Щоб забезпечити

цю умову, всі коефіцієнти полінома V ( p) мають бути ненульовими (bk ≠ 0 , k = 0, 1, ..., n ) і обов’язково однакового знаку. Такий поліном називають

поліномом Гурвіца5.

5.Порядок полінома V ( p) визначає порядок кола і ОПФ.

6.Значення pk , які відповідають кореням V ( p) , перетворюють H ( p) у

нескінченність і мають назву полюсів ОПФ. Усі полюси ОПФ кола з втратами розташовані на комплексній площині зліва від уявної осі.

7. При значеннях p0k , які відповідають кореням A( p) , функція H ( p) дорівнює нулю. Корені полінома A( p) називають нулями ОПФ.

Відповідно до наведеної карти нулів і полюсів ОПФ записують у вигляді:

A( p) = a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0 = a3 ( p − p01)( p − p02 )( p − p03 )

5 Гурвіц Адольф, Hurwitz (1859–1919) – німецький математик. Професор політехнічного інституту в Цюриху. Основні праці належать до математичного аналізу, теорії функцій, алгебри та теорії чисел. У теорії функцій комплексної змінної відомі теореми Гурвіца. Широко застосовується його критерій від’ємності дійсних частин коренів алгебраїчних рівнянь. Зробив внесок у геометрію. Російською перекладено його працю “Теорія аналітичних та еліптичних функцій” (1933).

H(p)

а

jω

0

δ

звідки, прирівнявши праву частину до нуля, отримують характеристичне рівняння: LCp2 + pRC +1 = 0 , яке збігається з формулою (6.45), знайденою класичним методом (див. розд.6).

Якщо коло живиться від джерела струму, тоді зображення дії F1( p) = I ( p) , а відгуком є напруга на затискачах узагальненої схеми двополюс-

джерела) і, прирівнявши їх до нуля, отримати характеристичне рівняння кола.

8.8Зв’язок операторної передатної функції з комплексною передатною функцією. Амплітудно-квадратична характеристика кола, її властивості

Комплексна змінна p = σ + jω має значення комплексної частоти. Вона обумовлює характер коливань, що відтворюють функцію дійсної змінної t . Згідно з виразом (8.40) функція F( p)e pt dp для комплексно-спряжених значень p утворює коливання з нескінченно малою амплітудою, яке змінюється у часі за законом

2F( p)dp eσt cos(ωt + θ)

іможе зростати ( σ > 0) або загасати ( σ < 0). Якщо σ = 0, комплексна частота стає уявною величиною p = jω і обернене перетворення Лапласа переходить у

перетворення Фур’є, яке дозволяє відтворити функцію дійсної змінної t у вигляді незагасаючих синусоїдних коливань. При синусоїдній дії характеристикою кола є комплексна передатна функція. Отже, ОПФ перетворюється у КПФ за умови p = jω:

рис.8.9, а за умови p = jω ( δ = 0). Значення АЧХ належать кривій, яка є вертикальним перерізом поверхні H ( p) площиною, що проходить через вісь jω. На

рис.8.9, б показано графік АЧХ, яка є парною функцією ω. Для додатних значень частоти розглядається права (відносно нуля) частина графіка.

Наприклад, для кола третього порядку поліном Гурвіца становить:

дійсної змінної ω.

Якщо максимальні степені поліномів чисельника і знаменника збігаються

Тоді аналітичний вираз АЧХ матиме вигляд:

Вираз (8.89) є ірраціональною функцією частоти ω, що ускладнює розв’язання задачі синтезу. Тому розглядають квадрат модуля АЧХ, який є раціональною функцією ω:

кою (АКХ) і має такі основні ознаки: 1) АКХ – це ДРФ дійсної змінної ω з дійсними додатними коефіцієнтами; 2) АКХ – парна функція дійсної змінної ω; 3) граничні значення АКХ скінченні та невід’ємні.

АКХ можна визначити як добуток двох комплексно-спряжених функцій:

Заміна jω = p згідно з виразом (8.83) призводить до співвідношення:

– парна ДРФ дійсної змінної ω з дійсними коефіцієнтами. Вона пов’язана з передатною функцією кола за потужністю, яку можна ввести як

жать у лівій півплощині.

Коло з ОПФ (8.70), нулі якої розташовані у лівій півплощині та на її межі

– уявній осі, має назву кола мінімально-фазового типу. Коло, частина нулів ОПФ якого лежить у правій півплощині, називається колом немінімально-

фазового типу.

8.9 Зв’язокоператорноїпередатноїфункціїзчасовимихарактеристиками

Диференціальне рівняння (8.63) для кола другого порядку пов’язує дію f1 (t) з відгуком f2 (t) . Якщо дія належить до простору оригіналів, має викону-

ватись умова (8.69), яку можна переписати згідно з формулою (8.67) так:

B0 ( p) −A0 ( p) =f2′(+0)b2+f2 (+0)(b2 p +b1) −f1′(+0)a2 −f1(+0)(a2 p +a1)=0 . (8.96)

Прирівнявши у рівнянні (8.96) коефіцієнти при однакових степенях p нулю, можна записати:

Розв’язання цієї системи відносно початкових значень відгуку дає:

f2 (+0) = k0 f1(+0); (8.98)f2′(+0) = k0 f1′(+0) + k1 f1(+0) ,

де k2 = (a0b2 − a2b0 ) / b22 − k1b1 / b0 .

Отже, як видно з рівнянь (8.98), (8.99), відгуки, що належать до простору оригіналів, мають початкові значення, зумовлені початковими значеннями дії та коефіцієнтами диференціального рівняння. Аналогічно визначають початкові значення відгуку для кіл інших порядків. У табл.8.4 наведені початкові значення відгуку та його похідних у колах першого і другого порядків ( n =1,2).

Якщо дією є одинична функція f1(t) =1(t) , відгуком, за визначенням, буде перехідна характеристика f2 (t) = g(t) . Тоді, з урахуванням зв’язку між перехідною та імпульсною характеристиками, відповідно можна записати:

Початкові значення перехідної та імпульсної характеристик та їх похідних, записані на підставі співвідношень (табл.8.4), зведені до табл.8.5.

Зрозуміло, що вирази, які визначають початкові значення, спрощуються, якщо дорівнюють нулю деякі коефіцієнти правої частини диференціального рівняння кола.

Між зображеннями часових характеристик і ОПФ існує певний зв’язок. З відгуком на дію f1(t) =1(t) ; F1( p) =1/ p , пов’язана, за визначенням, перехідна

характеристика – вони чисельно збігаються, тобто f2 (t) = g(t) ; F2 ( p) = L [g(t)].

Підстановка зображень відгуку і дії до виразу (8.71) призводить до співвідношення:

З формули (8.100) виходить висновок, що перехідна характеристика – це оригінал, зображення якого є відношенням ОПФ до оператора p :

Для G( p) вираз (8.102) записують у вигляді:

Рівність (8.103) можна переписати у вигляді двох рівнянь, попередньо замінивши p на jω:

Формула (8.104) показує, що перехідна характеристика в усталеному режимі ( t → ∞) має постійне значення, якщо АЧХ кола при ω→ 0 відмінна від нуля (коло „пропускає” постійний струм). Рівність (8.105) означає наявність стрибка у відгуку на одиничну функцію (або ступінчасту дію), якщо АЧХ ненульова при ω→ ∞ (тобто коло „пропускає” коливання верхніх частот).

Отже, рівняння (8.104) і (8.105) встановлюють зв’язок між КПФ та перехідною характеристикою на межах частотного і часового діапазонів. Ці вирази відповідають аналогічним співвідношенням (7.7), (7.8), отриманим вище у розд.7.

Частотні та часові характеристики пов’язані між собою не тільки на межах відповідних діапазонів. Якщо дією є дельта-функція f1(t) = δ(t), відповідно

Оскільки інтегрування тепер треба виконувати за дійсною змінною ω, межі інтегрування позначають як дійсні:

Отже, імпульсна характеристика кола визначається як обернене перетворення Фур’є від КПФ, відповідно КПФ – це пряме перетворення Фур’є від імпульсної характеристики: