
1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска
.pdf

КОМПЛЕКСНІ ПЕРЕДАТНІ ФУНКЦІЇ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ. ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
•Поняття і визначення
•Вибірні властивості електричних кіл. Смуга пропускання
•Послідовний коливальний контур. Схеми контуру. Резонансний режим. Вторинні параметри. Резонансні криві
•Комплексні передатні функції і частотні характеристики послідовного контуру. Абсолютна, відносна і узагальнена розстройки
•Вибірність резонансного контуру. Смуга пропускання
•Вплив опорів джерела і навантаження на вибірні властивості послідовного контуру
•Паралельний резонансний контур
•Складні паралельні контури
R L
E C
T |
= |
1 |
= 2π LC |
Л. Мандельштам |
|
|
|||
рез |
|
fpез |
|
Дзвоник
У. Томсон
О. Попов
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
183 |




Im[H (ω)] частин КПФ кола від частоти (рис.4.2, г).
Для розрахунку КПФ і частотних характеристик використовують комплексний метод (див. приклади 4.1 – 4.3).
У тих випадках, коли діапазон змінювання АЧХ великий, застосовують логарифмічні одиниці – бели1 (Б), децибели (дБ) або непери2 (Нп), які основані на десяткових логарифмах та безпосередньо використовуються щодо відношення потужностей: A, Б = lg(P2 / P1) ; A, дБ =10 lg(P2 / P1) .
Оскільки потужності пропорційні квадратам діючих значень струмів і напруг, співвідношення для розрахунку АЧХ в цих одиницях мають вигляд:
H (ω), Б=lg(Fвих / Fвх )2 = 2 lg(Fвих / Fвх )= 2 lg(Fmвих / Fmвх );
H (ω),дБ=10 lg(Fвих / Fвх )2 = 20 lg(Fвих / Fвх )= 20 lg(Fmвих / Fmвх ).
У пристроях СТЗІ частіше застосовують децибели, оскільки бел є порівняно великою одиницею: один бел відповідає змінюванню потужності у десять разів, а напруги або струму – в сто разів.
Порівняння графіка АЧХ, побудованого на рис.4.3, а в децибелах, з вихідним графіком (рис.4.2, а) показує, що застосування логарифмічних одиниць призводить до «розтягування» області малих значень і «стиснення» ділянок з максимальними значеннями.
На відміну від децибела одиниця непер базується на натуральному логарифмі стосовно відношення не потужностей, але амплітуд або діючих значень напруг (струмів). Тому для оцінки АЧХ в неперах справедливе співвідношення:
H (ω), Нп=ln (Fmвих / Fmвх )=ln (Fвих / Fвх ).
Використовуючи зв’язок між десятковими та натуральними логарифмами ( ln x = 2,3 lg x ), можна записати вираз для розрахунку АЧХ в неперах за допо-
могою десяткових логарифмів і отримати співвідношення між неперами і децибелами у вигляді:
|
Fmвих |
|
|
Fвих |
|
|
H (ω), Нп = 2,3 lg |
= 2,3 lg |
|
; 1 Нп ≈ 8,7 дБ; 1 дБ ≈ 0,115 Нп. |
|||
F |
F |
|||||
|
|
|
|
|||
|
mвх |
|
|
вх |
|
|
Непери застосовують, розраховуючи узгоджені симетричні чотириполюс- |
||||||
ники, кола з розподіленими параметрами (довгі лінії) та лінії зв’язку. |
||||||
Слід зазначити, що логарифмічні одиниці безпосередньо застосовують |
||||||
тільки для безрозмірних АЧХ: H I (ω) |
і HU (ω) . Щоб застосувати логарифмічні |
одиниці до розмірних АЧХ Z (ω) і Y (ω) , їх необхідно попередньо пронормува-
1 Белл, A. G. Bell (1847–1922) – американський інженер та винахідник. У 1876 р. отримав у США патент на винайдений ним телефон, а у 1877 р. – додатковий патент на його вдосконалення. Оприлюднив роботи з відтворення і запису звуку. З 1897 р. − директор Смітсоніанського інституту в Бостоні.
2 Непер, J. Napier (1550–1617) – шотландський математик. Виклав властивості логарифмів, увів таблиці логарифмів і правила користування.
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
187 |


АЧХ, зображені у логарифмічному масштабі по осях частот і ординат, називають логарифмічними (рис.4.3, в). Застосування логарифмічного масштабу по осі частот надає частотним характеристикам більшу наочність в області низьких частот. Крім того, суттєве зменшення крутості логарифмічних АЧХ дозволяє застосувати їх кусково-лінійну апроксимацію.
Приклад 4.1. Знайти комплексний коефіцієнт передачі за напругою HU (ω) , АЧХ і ФЧХ для схем (рис.4.4, а, б). Побудувати графіки АЧХ, ФЧХ і АФХ.
а |
I |
L |
R U вих |
|
I |
R |
C U вих |
U вх |
|
б |
U вх |
|
|||
|
HU (ω) |
|
|
ϕ(ω) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
ω |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
в |
|
|
|
г |
|
|
|
|
0 |
|
ω |
−π / 2 |
|
|
|
Рисунок 4.4 – До прикладу 4.1: а, б – схеми кіл; в – графік АЧХ; г – графік ФЧХ
Розв’язання. Оскільки дані схеми однотипні за структурою і дуальні, визначатимемо HU (ω) разом для двох схем, використовуючи позначення: а – для схеми
(рис.4.4, а); б – для схеми (рис.4.4, б).
Вважаючи відомою напругу U вх , за законом Ома визначимо U вих :
а) |
U |
вих=RI= |
RU вх |
= |
|
|
|
|
U |
вх |
|
|
; б) |
U |
вих |
= I / jωC = |
|
|
|
|
|
|
|
U |
вх |
|
|
= |
|
|
U |
вх |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +jωL / R |
|
jωC(R +1/ jωC) |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R +jωL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+jωRC |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Знайдемо HU (ω) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
а) |
HU (ω) |
= |
|
U |
|
вих |
= |
|
|
|
|
|
U вх |
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
U вх |
(1 |
+ jωL / R) U вх |
1 |
+ jωL / R |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ jωτRL |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) |
HU (ω) |
|
= |
U |
вих |
= |
|
|
|
|
|
U вх |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
вх |
|
|
|
(1 |
+ jωRC) |
U |
вх |
1+ jωRC |
|
|
1+ jωτRC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
де τRL = L / R , τRC = RC – величини, які мають розмірність часу і називаються |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сталими часу кіл R, L і R, C відповідно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Оскільки отримані вирази для HU (ω) однотипні, запишемо HU (ω) , АЧХ і |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ФЧХ єдиною формулою: |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
H |
U |
(ω) = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
e− jarctg(ωτ) |
= H (ω)e jϕU (ω) , |
(4.6) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ jωτ |
|
|
1+(ωτ)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
де |
H |
U |
(ω) =1/ 1+(ωτ)2 |
− рівняння АЧХ; ϕ |
|
(ω) = −arctg(ωτ) |
|
− рівняння |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ФЧХ; τ – стала часу, яка дорівнює τRL (τRC ) для кола R, L (R, C). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
189 |
|||||||||||||
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Im[HU (ω)] |
|
ω=0 |
I |
|
|
|
|
0 ω→∞ |
0,5 |
|
1 |
R |
L |
|
|
|
ϕU(ω) |
2ϕ(ω) |
Re[HU (ω)] |
U вх |
|
C |
U вих |
HU (ω) |
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 4.5 – АФХ (годограф) |
Рисунок 4.6 – Схема кола |
|
|||||
КПФ кола у прикладі 4.1 |
|
у прикладі 4.2 |
|
Графіки АЧХ (рис.4.4, в) і ФЧХ (рис.4.4, г) змінюються із зростанням частоти ω монотонно, оскільки розглянуті кола мають один частотно залежний елемент.
Щоб проаналізувати АФХ, перетворимо вираз для HU (ω) :
|
|
HU (ω) = |
|
|
1 |
|
|
= 0,5 + |
0,5 −0,5 jωτ = |
|
|
||||||
|
|
1 |
+ jωτ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ jωτ |
|
|
|
|
|||||
|
= |
0,5 + |
0,5 1+ |
(ωτ)2 |
e |
− j2arctg(ωτ) |
= 0,5 +0,5e |
j2ϕ (ω) |
. |
(4.7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
||||||||
|
|
|
1+(ωτ)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Запис (4.7) |
дозволяє подати АФХ (рис.4.5) у вигляді суми двох векторів – |
||||||||||||||||
дійсного числа 0,5 і комплексного числа 0,5e |
j2ϕU (ω) |
, модуль якого є постійним, а ар- |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
гумент 2ϕU(ω) змінюється залежно від частоти від 0 (при ω = 0 ) до −π (при ω→∞). |
|||||||||||||||||
Тому годограф АФХ є півколом радіусом 0,5 і координатами центра (0,5; 0). |
|
||||||||||||||||
Вираз |
для |
HU (ω) , а також |
графіки |
АЧХ і ФЧХ дозволяють оцінити |
|||||||||||||
можливості практичного застосування досліджуваних кіл. |
|
|
|
|
|||||||||||||
У діапазоні частот 0 ≤ω<<1/ τ ( ωτ<<1) комплексний коефіцієнт передачі за |
|||||||||||||||||
напругою HU (ω) ≈1, АЧХ HU ( ω) ≈1, ФЧХ |
ϕU (ω) ≈ 0 . Тому вхідні і вихідні ко- |
||||||||||||||||
ливання мають однакові амплітуди та початкові фази. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Для |
частот |
1/ τ<<ω<∞ |
( ωτ >>1) |
коефіцієнт |
передачі |
за |
напругою |
HU (ω) ≈1/ jωτ , АЧХ HU (ω) ≈1/ ωτ , ФЧХ ϕU (ω) ≈ −π/ 2 . При цьому миттєві значення вхідної та вихідної напруги можна записати у вигляді: uвх(t)=Umcos(ωt+ψu ) ;
uвих(t) ≈ Uωτm cos(ωt+ψu−π / 2) = Uωτm sin(ωt+ψu ) =τ1 ∫uвх(t)dt .
Отже, за умови ωτ >>1 розглянуті кола з точністю до коефіцієнта 1/ τ виконують операцію інтегрування вхідних коливань і тому називаються інтегрувальними.
Приклад 4.2. Розрахувати комплексний коефіцієнт передачі за напругою HU ( f ) для схеми (рис.4.6). Параметри схеми: R = 5 Ом; L =1,75 мкГн; C = 400пФ.
У діапазоні частот (0…10) МГц побудувати графіки АЧХ, ФЧХ, АФХ для HU ( f ) ,
Re[HU ( f )], Im[H U ( f )].
Розв’язання. Запишемо вираз для комплексного коефіцієнта передачі:
HU (ω) = |
U вих |
= |
|
U |
вх |
|
1 |
= |
1 |
. |
||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 −ω2LC) + jωRC |
|||||||
|
U вх |
(R + jωL +1/ jωC) |
U |
вх |
|
jωC |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
190 |
|
|
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |