4.4. Теорема Котельникова.

Данная теорема определяет условия, при которых непрерывный сигнал может быть восстановлен по своим отсчетам без потери информации.

Если имеется сигнал , спектральная плотность которого не содержит составляющих с частотами выше , то:

1. он полностью определяется своими мгновенными значениями в дискретные моменты времени через интервал ;

2. сигнал может быть точно восстановлен по своим отсчетным значениям с помощью выражения:

. (14)

Выражение (14) может быть рассмотрено как ряд Фурье, базисные функции при этом сдвинуты относительно друг друга на .

Коэффициенты разложения при этом равны значениям восстанавливаемого сигнала в точках дискретизации.

Пример: На протяжении 10 сек. делаются выборки через 0.2 сек. Найти ДПФ.

Период дискретизации

Частота дискретизации

Суммарное время наблюдения .

Период спектральной функции

.

Расстояние между двумя частотами:

.

В тригонометрической форме ДПФ имеет вид:

.

Лекция №5. Функции окна. Виды окон.

5.1. Функции окна.

При анализе сигналов широко используют оконное преобразование Фурье, хотя спектральная характеристика окна влияет на форму сигнала. Расширение спектра в дискретном преобразовании Фурье неограниченного во времени сигнала происходит потому, что в итоге мы видим спектр не самого сигнала, а его свертку со спектром окна, т.е. мы видим "фальшивые спектральные линии".

Рис 1. Дискретное преобразование окна.

– амплитуда основного лепестка;

– амплитуда наибольшего из дополнительных лепестков.

Применяется ряд типов окон, которые позволяют избежать искажений амплитуды и других нежелательных явлений.

При выборе окна учитывают:

10. Время наблюдения (ширина окна) должно составлять число, кратное периоду основного колебания.

11. Спектр повторяется с частотой выборок , где – период дискретизации.

12. Расстояние между частотными линиями: , где N – объем выборки

Критерии оценки окна:

а) Отношение амплитуды наибольшего из дополнительных лепестков к амплитуде основного лепестка:

ДПФ функции окна даёт при максимальную амплитуду основного лепестка, амплитуды дополнительных лепестков меньшие. Значения используется для сравнения различных функций окна.

б) максимальная погрешность дискретизации:

оценивает, насколько максимально неверно была измерена амплитуда.

Спектральные линии измеренной выборками функции не обязательно сходятся с нулями ДПФ и находятся на расстоянии одна от другой.

в) ширина основного лепестка.

Функции окна, в которых дополнительные лепестки малы, имеют особенно широкий основной лепесток. Это ведет к расхождению спектральных линий.

Для характеристики основного лепестка используют граничную частоту, при которой амплитуда основного лепестка уменьшается на :

Ширина основного лепестка, в идеале содержащая большую часть функции окна, должна быть поменьше.

5.2. Виды окон.

Для реализации окон в среде MATLAB используется множество встроенных функций.

1. Прямоугольное окно.

Функция , реализующая «прямоугольное окно», введена в лишь для полноты набора весовых функций, поскольку она соответствует отсутствию взвешивания:

Возвращаемый вектор заполнен единицами: , – его длина.

2. Треугольное окно.

Функция реализует треугольное окно:

Отсчеты треугольного окна рассчитываются по формулам:

– для нечетных

– для четных

При нечетном треугольное окно является симметричным, его крайние значения (при и ) равны , а в середине окна (при ) достигается единичное значение.

а) треугольное окно б) амплитудный спектр треугольного окна

Рис 2. Треугольное окно и его амплитудный спектр.

3. Окно Бартлетта.

Функция реализует окно Бартлетта:

.

Окно Бартлетта, по сути, является треугольным, но рассчитывается несколько иначе:

– для нечетных – для четных

а) окно Бартлетта б) амплитудный спектр окна Бартлетта.

Рис 3. Окно Бартлетта и его амплитудный спектр.

В отличие от треугольного окна, значения окна Бартлетта по краям (при и ) равны нулю. Кроме того, независимо от четности оно является симметричным. Окно Бартлетта представляет собой отсчеты симметричного треугольного импульса, который начинается при , заканчивается при и имеет единичную амплитуду. Максимум значения достигается при , поэтому при нечетном окно Бартлетта не достигает единичного значения в середине. При нечетном ненулевые отсчеты окна Бартлетта совпадают с отчетами треугольного окна длины .

4. Окно Хана.

Функция реализует окно Хана:

.

Строковый параметр позволяет выбрать режим расчета окна.

В симметричном случае, принятом по умолчанию, отсчеты окна Хана рассчитываются по формуле:

.

а) окно Хана б) амплитудный спектр окна Хана

Рис 4. Окно Хана и его амплитудный спектр.

5. Окно Хэмминга.

Функция реализует окно Хемминга:

.

В симметричном случае отсчеты окна Хемминга рассчитываются по формуле:

.

Для периодического варианта в знаменателе формулы заменяется на (возможна и другая трактовка: выполняется расчет по приведенной формуле для окна длиной , а затем последний элемент отбрасывается).

а) Окно Хэмминга б) амплитудный спектр окна Хэмминга

Рис 5. Окно Хэмминга и его амплитудный спектр.

6. Окно Блекмана.

Функция реализует окно Блекмана:

.

В симметричном случае отсчеты окна Блекмана рассчитываются по формуле:

.

а) окно Блекмана б) амплитудный спектр окна Блекмана

Рис 6. Окно Блекмана и его амплитудный спектр.

7. Окно Чебышева.

Функция реализует окно Чебышева:

.

Здесь – степень подавления боковых лепестков в децибелах. Для окна Чебышева все боковые лепестки имеют одинаковый, заданный при расчете окна уровень. Отсчеты окна Чебышева рассчитываются путем вычисления обратного преобразования Фурье от его частотной характеристики:

, где .

Здесь – степень подавления боковых лепестков в децибелах, – требуемое количество отсчетов окна.

а) окно Чебышева б) амплитудный спектр окна Чебышева

Рис 7. Окно Чебышева и его амплитудный спектр.

Из графиков видно, что при уровень боковых лепестков . Как обычно, с уменьшением уровня боковых лепестков главный лепесток расширяется.