4.1. Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы.

Исходный физический сигнал является непрерывной функцией времени. Такие сигналы, определенные во все моменты времени, называют аналоговыми. Последовательность чисел, представляющая сигнал при цифровой обработке, является дискретным рядом и не может полностью соответствовать аналоговому сигналу. Числа, составляющие последовательность, являются значениями сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называются отсчетами сигнала. Как правило, отсчеты берутся через равные промежутки времени , называемые периодом дискретизации. Величина, обратная периоду дискретизации, называется частотой дискретизации:

. (1)

Соответствующая ей круговая частота определяется следующим образом:

. (2)

Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией, а результат такого преобразования – дискретным сигналом.

Сигнал, дискретный во времени, но не квантованный по уровню, называется дискретным сигналом. Сигнал, дискретный во времени и квантованный по уровню, называют цифровым сигналом.

а) аналоговый сигнал б) дискретный сигнал

в) цифровой сигнал

Рис 1. Виды сигналов.

4.2. Частота Найквиста.

Гармонический сигнал может быть адекватно представлен дискретными отсчетами, если его частота не превышает половины частоты дискретизации. Эта частота называется частотой Найквиста:

. (3)

В зависимости от соотношения между частотой дискретизируемого гармонического сигнала и частотой Найквиста возможны три случая:

7. Если частота гармонического сигнала меньше частоты Найквиста: , дискретные отсчеты позволяют правильно восстановить аналоговый сигнал:

8. Если частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста: , то дискретные отсчеты позволяют восстановить аналоговый гармонический сигнал с той же частотой, но амплитуда и фаза восстановленного сигнала могут быть искажены. В худшем случае все отсчеты синусоиды будут равны нулю:

9. Если частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста: , восстановленный по дискретным отсчетам аналоговый сигнал будет так же гармоническим, но с иной частотой. Данный эффект носит название появление ложных частот:

4.3. Спектр дискретного сигнала.

Дискретный сигнал является последовательностью чисел, поэтому для анализа его представляют в виде дельта-функций с соответствующими множителями и задержками. Для последовательности отсчетов получится следующий сигнал:

. (4)

Преобразование Фурье линейно, спектр дельта-функции равен единице, а задержка сигнала во времени приводит к умножению спектра на комплексную экспоненту:

. (5)

Из этой формулы видно главное свойство спектра любого дискретного сигнала: он является периодическим, и его период в этом случае равен , т.е. .

Рассмотрим несколько иную задачу. Пусть являются отсчетами аналогового сигнала , взятыми с периодом :

. (6)

Выясним, как в этом случае спектр дискретного сигнала связан со спектром аналогового сигнала .

Итак, мы рассматриваем дискретизированный сигнал в виде последовательности дельта-функций, взвешенной значениями отсчетов аналогового сигнала :

. (7)

Рис 2. Дискретизированный сигнал в виде

последовательности дельта-функций.

Так как функция равна нулю всюду, кроме момента , то можно заменить в выражении (7) константы на исходный непрерывный сигнал

.

Как видно, сумма является периодическим сигналом, а поэтому может быть представлена в виде ряда Фурье. Коэффициенты этого ряда равны:

. (8)

Таким образом, периодическая последовательность дельта-функций может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье:

, (9)

где .

Сделав подстановку, получим:

. (10)

Умножение сигнала на соответствует сдвигу спектральной функции на , поэтому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим образом:

. (11)

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного сигнала . Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации .