Б) Пилообразный сигнал.

Рис 4. Пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линейной функцией

, . (20)

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:

. (21)

Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:

. (22)

Для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .

в) Последовательность треугольных импульсов.

, (23)

. (24)

Ряд Фурье имеет вид:

(25)

Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.

Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.

Лекция №3. Преобразование Фурье.

Свойства преобразования Фурье.

3.1 Преобразование Фурье.

Преобразование Фурье является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Его можно применить к периодическим сигналам, используя аппарат обобщенных функций:

(1)

На качественном уровне проиллюстрируем переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье. Представим себе периодическую последовательность импульсов и сформулируем ряд Фурье для нее. Затем увеличим период повторения импульсов и снова рассчитаем коэффициенты. Мы рассчитали тот же интервал, но для более тесно расположенных частот . Изменение пределов интегрирования не имеет значения, ведь на добавленном интервале сигнал имеет нулевое значение.

Рис 1. Изменение спектра последовательности импульсов

при двукратном увеличении периода их следования.

При спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчета комплексного ряда Фурье модифицируется следующим образом:

4. частота перестает быть изменяющейся: изменяется на ;

5. удаляется множитель ;

6. результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ряда является функция частоты :

,

, (2)

_. (3)

Чтобы преобразование Фурье было применимо, необходимо чтобы:

- выполнялось условия Дирихле;

- сигнал был абсолютно интегрируемым:

. (4)

Если анализируемый сигнал – вещественная функция, то соответствующая спектральная функция является комплексно симметричной относительно нулевой частоты. Это означает, что значение спектральной функции на частотах и является комплексно сопряженным:

. (5)

Как в случае ряда Фурье, если – четная функция, то – вещественная и если – нечетная функция, то – чисто мнимая.

Модуль спектральной функции называют амплитудным спектром, а аргумент – фазовым спектром. Амплитудный спектр для вещественного сигнала – четная функция, фазовый – нечетная:

. (6)

Таким образом, преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимнооднозначным. Представление сигнала в частотной области содержит столько же информации, сколько исходный сигнал во временной.