3.2. Свойства преобразования Фурье.
Под свойствами подразумевается взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.
Рассмотрим
два абстрактных сигнала
и
и их спектральные функции
,
.
Сформулируем основные свойства
преобразования Фурье.
Линейность.
Преобразование Фурье является линейным:
;
.
(7)
Задержка.
,
(8)
(спектр
исходного сигнала умножается на
).
Т.е. амплитудный
спектр сигналов не меняется,
т.к. модуль комплексной экспоненты = 1,
а фазовый спектр приобретает дополнительное
слагаемое
,
которое линейно зависит от частоты.
Изменение масштаба времени.
Известно, что чем короче сигнал, тем шире его спектр:
,
(9)
т.е.
– сигнал сжимается,
– сигнал
растягивается
– происходит
зеркальное отражение сигнала относительно
.
.
(10)
Изменение
длительности сигнала приводит к изменению
ширины спектра в противоположную сторону
в сочетании с увеличением
или уменьшением
уровня спектральных составляющих.
Если
,
то
вызывает перестановку пределов
интегрирования и несет за собой изменение
знака у результата:
или в общем случае:
,
(11)
при
.
Зеркальное отражение сигнала относительно начала отсчета времени приводит к зеркальному отражению спектра относительно нулевой частоты, что способствует комплексному сопряжению спектра.
Дифференцирование сигнала.
Воспользуемся понятием производной:
,
(12)
тогда
,
(13)
где
– оператор дифференцирования в частотной
области.
При
дифференцировании спектр получается
путем умножения исходного сигнала на
.
Фазовый спектр сдвигается на
для
и на
для
.
При дифференцировании низкие частоты ослабевают, а высокие – усиливаются.
Интегрирование сигнала.
Интегрирование сигнала – операция обратная дифференцированию:
.
(14)
Эта формула справедлива для сигналов, не содержащих постоянной составляющей:
,
(15)
иначе:
,
(16)
где
– оператор интегрирования,
– дельта-функция.
При интегрировании высокие частоты ослабевают, а низкие – усиливаются. Фазовый спектр сдвигается на для и на для .
Спектр свертки сигналов.
Свертка сигналов является часто используемой в радиотехнике интегральной операцией, поскольку она описывает, в частности, прохождение сигнала через линейную систему с постоянными параметрами:
.
(17)
Подвергнем такую свертку преобразованию Фурье:
.
(18)
Спектр свертки равен произведению спектров.
Спектр произведения сигналов.
Дуальность преобразования Фурье и соотношение, полученное выше, позволяют предугадать результат. Однако все-таки получим его:
,
(19)
тогда:
(20)
Как и следовало ожидать, спектр произведения представляет собой свертку спектров.
Умножение сигнала на гармоническую функцию.
Умножим исходный сигнал, спектр которого нам известен, на гармоническую функцию:
.
(21)
Посмотрим, что произошло со спектром сигнала:
.
(22)
Как
видно, спектр «раздвоился»:
распался на два слагаемых вдвое меньшего
уровня (множитель
),
смещенных на
вправо:
и влево:
по оси частот. Кроме того, при каждом
слагаемом имеется множитель, учитывающий
начальную фазу гармонического колебания.
Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье.
Пусть – сигнал конечной длительности, а – его спектральная функция. Получим на основе периодический сигнал, взяв период повторения не меньше длительности сигнала:
.
(23)
Таким образом, между спектральной функцией одиночного импульса и коэффициентами ряда Фурье для периодической последовательности таких импульсов существует простая связь:
.
(24)
Лекция №4. Дискретные сигналы.