Энергетические характеристики сигналов:
Мгновенная (текущая) мощность:
.
(5)Энергия:
.
(6)Средняя мощность на интервале:
.
(7)
Если сигнал равен сумме двух сигналов:
,
,
.
(8)
Взаимная энергия
и
мощность
двух сигналов характеризуют степень
схожести двух сигналов.
Если сигналы совпадают, взаимная энергия увеличивается в 4 раза, и такие системы называются когерентными:
.
Если взаимная мощность или взаимная энергия двух сигналов равна нулю (т.е.
или
)
то такие сигналы называют ортогональными.
Из ортогональности по энергии всегда
следует ортогональность по мощности,
но не наоборот:
Если сигналы не полностью совпадают, то они называются частично совпадающими сигналами.
При цифровой обработке
сигналов часто используют такие
специальные функции как функция Хэвисайда
и
-функция
Дирака
Функция единичного сигнала (функция Хэвисайда) определяется:
Используется при создании сигналов конечной длительности:
.
(9)
В
MATLAB
данную функцию можно смоделировать с
помощью оператора сравнения
.
-функция
или функция Дирака – бесконечно узкий
импульс с бесконечной амплитудой и
единичной площадью
:
,
.
Важное свойство -функции – ее фильтрующее свойство:
.
(10)
Лекция №2. Основы анализа сигналов.
2.1. Обобщенный ряд Фурье и системы базисных функций.
Сигнал
на интервале
может быть записан в форме обобщенного
ряда Фурье:
.
(1)
Если
– вектор, то последнее выражение можно
интерпретировать как разложение по
некоторому базису, а коэффициенты
могут рассматриваться как проекции
вектора на координатные оси, заданные
системой функций
,
образующих базис.
Для
того чтобы разложение было возможно,
исходный сигнал
и система функций
должны
удовлетворять определенным
условиям:
Во-первых,
сигнал
должен принадлежать множеству
квадратично-интегрируемых на отрезке
сигналов:
.
(2)
Такое
множество сигналов образует пространство
сигналов
.
Отрезок интегрируемости
может быть как конечным, так и бесконечным
интервалом. Пространство
замкнуто относительно линейных операций,
т.е. если
и
,
то и
.
Поэтому его называют линейным
векторным
пространством.
Сигналы
и
рассматриваются как векторы
в линейном пространстве, для которых
определено скалярное
произведение:
(3)
и
норма вектора
(длина вектора): 
.
(4)
Для скалярного произведения справедливо соотношение, называемое неравенством Коши-Буняковского:
.
(5)
Отношение
определяет косинус угла между сигналами
(векторами).
Во-вторых,
базисные функции
должны быть попарно
ортогональнымы,
т.е.
. (6)
Если базисные функции системы имеет единичную норму, то они образует ортонормированный базис.
При выполнении указанных условий коэффициенты обобщенного ряда Фурье находятся следующим образом:
.
(7)
Обобщенный
ряд Фурье содержит бесконечное число
членов. На практике приходится ограничивать
ряд конечным числом членов
.
Это приводит к появлению ошибки
аппроксимации:
.
Обычно
рассматривают норму ошибки
.
(8)
Одним
из важных свойств базисных функций
является полнота.
Базисные функции образуют полную
систему, если норма ошибки с ростом
уменьшается. Наиболее известной является
тригонометрическая
система базисных функций.
Интерес к поиску других систем функций обусловлен тем, что норма ошибки аппроксимации для иных систем может стать меньше при одном и том же числе членов ряда. Выбор базиса обусловлен спецификой решаемой задачи.
Н
φ1(t)
φ2(t)
φN(t)
Рис 1. Система мультипликативно-ортогональных функций.
Если два прямоугольных импульса не перекрываются во времени, такая система ортогональна:
и
.
(9)
Коэффициенты ряда Фурье:
.
(10)
Рассматриваемая
система мультипликативно-ортогональных
функций является полной только для
ступенчатых функций с шириной ступени
.