4.3. Байесовские решения
Применение
апостериорных вероятностей позволяет
находить байесовские решения при каждом
конкретном исходе эксперимента
.
И в отличие от решений, рассмотренных
выше, вместо априорных вероятностей
применяются апостериорные вероятности
.
Найдем байесовские решения в задаче § 3.6. Для этого вычислим апостериорные вероятности при помощи расчетной таблицы:
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
0,5 |
0,6 |
0,4 |
0,30 |
0,20 |
0,667 |
0,364 |
|
0,5 |
0,3 |
0,7 |
0,15 |
0,35 |
0,333 |
0,636 |
|
|
0,45 |
0,55 |
|
|||
То есть получим следующие апостериорные вероятности:
,
,
,
.
Пусть
результатом эксперимента будет
.
Построим матрицу потерь:
|
0,667 |
0,333 |
|
20 |
5 |
|
0 |
17 |
и вычислим средние потери:
,
.
Таким образом, при исходе эксперимента байесовской стратегией будет с потерями 5,661.
Если
результатом эксперимента будет
,
то матрица потерь будет иметь вид:
|
0,364 |
0,636 |
|
20 |
5 |
|
0 |
17 |
а средние потери будут равны:
,
.
То
есть, при исходе эксперимента
байесовской стратегией будет
с потерями 10,460.
Таким образом, решения этой задачи имеют следующий вид:
а) байесовское без эксперимента - ;
б) минимаксное без эксперимента - ;
в)
байесовское с экспериментом -
;
г)
минимаксное с экспериментом -
,
;
д)
при применении апостериорных вероятностей
с исходом эксперимента
-
;
е)
при применении апостериорных вероятностей
с исходом эксперимента
-
.
Отметим, что аналогично решается статистическая игра и в случае, если потери статистика оцениваются функцией полезности.