19. Числовая функция. Суперпозиция функций. Проколотая окрестность точки. Предельная точка множества (точка сгущения множества). Изолированная точка множества (примеры).

Пусть множество D ⊂ R.

Тогда, если ∀ х ∈ D соответствует у ∈ R, то говорят, что на множестве D определена функция у = f(x).

Тогда D – область определения функции.

Е = {у ∈ R : ∃ х ∈ D, у = f(x)} – множество значений функции

Суперпозиция функций

∀ х ∈ D, у = f(x), ∀ у ∈ G z = g(y)

Тогда, ∀ х ∈ D, у = f(x) ∈ G ⇒ z = g(f(x)), ∀ х ∈ D – суперпозиция функций f и g или сложная функция.

U⁰(х₀,ε) – проколотая окрестность ⇔ U(х₀,ε)\{х₀} ⇔ (х₀-ε,х₀)∪(х₀,х₀+ε)

а – предельная точка множества D ⇔ ∀ ε > 0 ∃ х ∈ U⁰(а,ε): х ∈ D

х₀ ∈ D – внутренняя точка множества D ⇔ ∃ ε > 0: U(х₀,ε) ⊂ D

х₀ ∈ D – изолированная точка множества D ⇔ ∃ ε > 0 ∀ х ∈ U⁰(х₀,ε): х ∉ D ⇔ U⁰(х₀,ε) ⋂ D = ∅.

20. Определение предела функции по Гейне. «Локальность» понятия предел функции. Предел функции по множеству. Односторонние пределы.

Пусть х₀ – внутренняя точка множества D

Тогда, А = lim_{х ⟶ х0} f(x) ⇔ по Гейне: ∀ {х_n} ⊂ U⁰(х₀,ε): lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

Из определения видно, что предел функции в точке х₀ не зависит от значения функции в точке х₀

Также, из определения предела функции видно, что предел функции в точке х₀ не зависит от значений функции на всем D, а зависит только от значений функции в U⁰(х₀,ε). Предел функции – локальное свойство функции.

lim _{х ⟶ х0} f(x) = А – по множеству ?????

Односторонние пределы:

lim _х⟶х0+0 f(x) = А ⇔ f(x) определена в (х₀,х₀+ε) и ∀ {х_n} ⊂ (х₀,х₀+ε) : lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

lim _х⟶х0-0 f(x) = А ⇔ f(x) определена в (х₀-ε,х₀) и ∀ {х_n} ⊂ (х₀-ε ,х₀) : lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

21. Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.

lim _{х ⟶ х0} f(x) = А – по Коши ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ х ∈ D: 0 < |х – х₀| < δ, |f(x) - а| < ε

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы lim _{х ⟶ х0} f(x) = А по Гейне, необходимо и достаточно, чтобы lim _{х ⟶ х0} f(x) = А по Коши.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость:

А = lim_{х ⟶ х0} f(x) ⇔ по Гейне: ∀ {х_n} ⊂ U⁰(х₀,ε): lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

Предположим противное, А ≠ lim_{х ⟶ х0} f(x) по Коши ⇔ ∃ ε₀