- •Свойство точной верхней (нижней) грани. Леммы о существовании рационального и иррационального числа между двумя вещественными числами.
- •Система вложенных отрезков. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о стягивающейся системе вложенных отрезков.
- •Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- •Арифметические операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.
- •Бесконечно малые последовательности и их свойства
- •Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса( о существовании предела у монотонной последовательности)
- •Определение числа «е»
- •Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности, бесконечно большой последовательности.
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса (принцип компактности ограниченной последовательности).
- •Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.
- •Числовая функция. Суперпозиция функций. Проколотая окрестность точки. Предельная точка множества (точка сгущения множества). Изолированная точка множества (примеры).
- •Определение предела функции по Гейне. «Локальность» понятия предел функции. Предел функции по множеству. Односторонние пределы.
- •Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.
Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами. Подмножества. Пустое множество. Декартово произведение множеств. Отображение, функция. Сюръективное, инъективное и биективное отображение. Обратное отображение.
Множества
! Множество – совокупность объектов одной природы.
Обозначаются: A,B,C…
a ∈ B – элемент a принадлежит множеству B
а ∉ B – элемент а не принадлежит множеству B
∀ - квантор общности
∃ - квантор существования
∃ а ∈ В – найдется элемент а принадлежащий множеству В
∃! – существует единственный
⇒ - отсюда следует
А ⇒ В
⇔ - необходимо и достаточно, тогда и только тогда
А ⇔ В :
1) А – необходимое условие В (В ⇒ А)
2) В – достаточное условие А (А ⇒ В)
Подмножества
! А ⊂ В ⇔ Множество А является подмножеством В если все элементы множества А входят в множество В. ⇔ А ⊂ В ⇔ ∀ а ∈ А ⇒ а ∈ В
! А = В ⇔ эти множества состоят из одних и тех же элементов ⇔
⇔ ∀ а ∈ А ⇒ а ∈ В и ∀ а ∈ А ⇒ а ∈ В
! ∅ ⇔ пустое множество, в нём нет ни одного элемента ⇔ ∀ А ∅ ⊂ А
Операции над множествами
Объединение А ∪ В = С – элементы С принадлежат по крайней мере А или В а ∈ С ⇔ а ∈ В или а ∈ А Свойства: 1. А ∪ В = В ∪ А 2. А ∪ (В ∪ С) = (А ∪ В) ∪ С = (А ∪ С) ∪ В 3. А ⊂ В ⇒ А ∪ В = В
Пересечение А ⋂ В = С – элементы С входят и в А, и в В одновременно а ∈ С ⇔ а ∈ А и а ∈ В Свойства 1. А ⋂ В = В ⋂ А 2. А ⋂ (В ⋂ С) = (А ⋂ В) ⋂ С 3. А ⊂ В ⇒ А ⋂ В = А
Вычитание А \ В = С элементы С входят в А, но не входят в В а ∈ С ⇔ а ∈ А и а ∉ В
Дополнение (А ⊂ Е) Е \ А – дополнение множества А до множества Е.
Свойства операций:
1) А ∪ (В ⋂ С) = (А ∪ В) ⋂ (А ∪ С) – дистрибутивное 2) А ⋂ (В ∪ С) = (А ⋂ В) ∪ (А ⋂ С) - дистрибутивное 3) А ∪ ∅ = А 4) А ⋂ ∅ = ∅ 5) Е \ (А ⋂ В) = (Е \ А) ∪ (Е\В) 6) Е \ (А ∪ В) = (Е \ А) ⋂ (Е \В) Доказательство: ∀ а ∈ Е \(А ∪ В) ⇒ а ∈ Е и а ∉ А ∪ В ⇒ а ∈ Е и а ∉ А и а ∉ В ⇒ а ∈ Е\А и а ∈ Е \В ⇒ ⇒ а ∈ (Е\А)⋂ (Е\В) ∀ а ∈ (Е\А) ⋂ (Е\В) ⇒ а ∈ Е\А и а ∈ Е\В ⇒ а ∈ Е, а ∉ А и а ∉ В ⇒ а ∈ Е и а ∉ (А ∪ В) ⇒ ⇒ а ∈ Е\(А ∪ В) 7) А ⊂ А 8) А ⊂ В, В ⊂ С ⇒ А ⊂ С
Декартово произведение множеств
С = А*В = {(х,у): х ∈ А, у ∈ В} – элементы множества С есть пары элементов множеств А и В.
Отображение и функция
F – отображение A*B ⇔ F ⊂ А*В ⇔ F = {(х,у):х ∈ А ∃! у ∈ В} F – функция, определённая на (а,b). y = F(x) – образ точки х Х – прообраз точки у. F(A) – образ множества А ⇔ F(A) = {y ∈ В: ∃х ∈ В, у = F(x)}
Виды отображений
1) Сюръективное: F(A) = B (А = (a,b), B = (c,d)) – для каждого образа из множества B существует прообраз из множества А (не обязательно единственный)
2) Инъективное: ∀ x, x’ ∈ А: х ≠ x’ F(x) ≠ F(x’) – каждому прообразу из множества А соответствует единственный образ из множества В, но не обязательно каждому образу из множества В соответствует какой-либо прообраз из множества А.
3) Биективное: сюръективное и инъективное.
Обратное отображение
F-1 = {(y,x) : у ∈ В, ∃! Х ∈ А} F – биективное. х = F-1(y) F(F-1(y)) = y, F-1(F(x)) = x
Вещественные числа и их свойства. Аксиома Архимеда. Модуль числа, неравенства | x + y| ≤ |x| + |y|, ||x| - |y|| ≤ |x-y|. Целая и дробная часть числа. Промежутки (интервал, полуинтервал, отрезок)
Вещественные числа - расширение множества рациональных чисел, возникшее из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений. Обозначается это множество R
Свойства вещественных чисел:
Правило упорядочения. ∀ a,b ∈ R связаны одним и только одним из знаков >,< или =.
∀ a,b ∈ R ∃ с ∈ R, называемое их суммой и обозначаемое с=a +b. Операция нахождения суммы называется сложением.
∀ a,b ∈ R ∃ с ∈ R, называемое их произведением и обозначаемое с=a * b. . Операция нахождения произведения называется увножением
∀ a,b,c ∈ R: a>b, b>c ⇒ a>c (свойство транзитивности знака >); ∀ a,b,c ∈ R: a=b, b=c ⇒ a=c (свойство транзитивности знака =)
a+b = b+a (коммутативность)
(a+b)+c = a + (b+c) (ассоциативность)
∃ 0: a+0 = a, ∀ a ∈ R (особая роль нуля)
∀ а ∈ R ∃ a’ ∈ R: a+a’=0; a’ – противоположное.
a*b = b*a (коммутативность)
(a*b)*c = a*(b*c) (ассоциативность)
∃ 1: а*1 = а, ∀ а ∈ R (особая роль единицы)
∀ a ≠ 0 ∃ a’: a*a’ = 1; a’ – обратное
(a+b)*c = a*c + b*c (дистрибутивность)
a>b ⇒ a+c>b+с
a>b и c>0 ⇒ a*c>b*c
Каково бы ни было число а, можно число 1 повторить слагаемым столь раз, что сумма превзойдет а.
Аксиома Архимеда:
∀ а ∈ R , а > 0, ∃ n ∈ N: a*n ≥ 1
a ≥ 1 ⇒ n = 1.
0<a<1 a = a0,a1a2a3… a0 = 0, a1=a2=…=ak-1=0, ak ≠ 0 а = 0,00…0ak (k-1 нулей после запятой) a*10k = ak,ak+1… n = 10k
Модуль числа:
х ∈ R, |x| = x, x>0 |x| = 0, x=0 |x| = -x, x<0
Неравенства |x + y| ≤ |x| + |y|, ||x| - |y|| ≤ |x-y|
(|x+y|)2 = x2 + 2*x*y + y2 ≤ |x|2 + 2*|x|*|y| + |y|2 = (|x| + |y|)2 ⇒ |x+y| ≤ |x| + |y|
|x| = |(x-y)+y| ≤ |x-y| + |y| |x| ≤ |x-y| + |y| |x| - |y| ≤ |x-y| (1) |y| = |y-x+x| = |(y-x)+x| ≤ |x-y| +|x| |y| ≤ |x-y| + |x| |y|-|x|≤|x-y| (2) (1) и (2) ⇒ |x-y| ≥ ||x|-|y||
Целая и дробная часть числа
х = х0,х1х2…
[х] – целая часть числа [х] = х0, х>0 [х] = х0-1, х<0
{x} – дробная часть числа {х} = 0,х1х2, х>0 {х} = 1-0,х1х2, х<0
Промежутки. Интервал, полуинтервал, отрезок.
{х ∈ R :а≤х≤b} = [a,b] – отрезок {х ∈ R :а<х<b} = (a,b) – интервал {х ∈ R :а≤х<b} = [a,b) – полуинтервал
Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани множества. Свойство полноты множества вещественных чисел. Существование точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества.
D ⊂ R, D – ограниченное сверху ⇔ ∃ b ∈ R : ∀ х ∈ D x ≤b; b – верхняя грань множества
D ⊂ R, D – ограниченное снизу ⇔ ∃ b ∈ R : ∀ х ∈ D x ≥ b; b – нижняя грань множества
D ≠ ∅ - ограниченное ⇔ ограниченное сверху и снизу ⇔ ∃ b1,b2 ∈ R : ∀ х ∈ D: b1 ≤ x ≤ b2
D ⊂ R, D – неограниченное сверху ⇔ ∀ b ∈ R : ∃ х ∈ D x ≥ b
D ⊂ R, D – неограниченное снизу ⇔ ∀ b ∈ R : ∃х ∈ D x ≤b
D ⊂ R, D – неограниченное ⇔ ∃ М > 0: ∃ х ∈ D : |x| >M
Свойство полноты множества вещественных чисел.
Пусть A/B – сечение множества D точкой b:
А ∪ В = D
А ⋂ В = ∅
∀ х ∈ А, ∀ у ∈ В: x<y.
A = {х ∈ R: х ≤ b (x<b)}, B = {у ∈ R:у > b (y≥b)}
b = sup A = inf B
Полнота множества R заключается в том, что точка b, выполняющая сечение числовой оси и b = sup A = inf B, принадлежит либо множеству А, либо множеству В.
Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху(снизу)множества.
ТЕОРЕМА: у всякого ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань, а у ограниченного снизу – точная нижняя грань.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: D – ограниченное сверху ⇔ ∃ b ∀ х ∈ D: x≤b. Рассмотрим несколько случаев:
а = max x, х ∈ D. 1. ∀ х ∈ D х ≤ a ⇒ а ∈ B (множество верхних граней)
2. ∀ b ∈ B a ≤ b Предположим противное, ∃ b ∈ B: b<a ∈ D ⇒ b ∉ B – пришли к противоречию.
У множества D нет максимального элемента 2’) {0} ∈ D Введем числа х и х’: х = х0,х1х2…, х’ – подобное. х >0, x’>0. x>x’ ⇒ х0 > x0’ либо х0 = x0’ и х1 > x1’ либо … либо х0 = x0’ и х1 = x1’ и … и хk > xk’ Возьмем множество D0 = {х ∈ D: х ≥0} ⊂ D х ∈ D, х = х0,х1… D – ограниченное ⇒ ∀ х ∈ D: х ≤ b и ∀ х ∈ D0 : х ≤ b. Пусть s0 = max x0, x ∈ D0. Введем множество D1 ∈ {x ∈ D0: х = s0,x1x2…}⊂ D0 ⊂ D Пусть s1 = max x1, x ∈ D1 и так до бесконечности. В итоге получим число s = s0,s1s2… s=sup D ? 1) ∀ х ∈ D: х ≤ s? Предположим противное, ∃ х ∈ D: х > s ⇒ х0 > s0, либо х0 =s0 и х1 > s1 и так далее до sk. Приходим к противоречию, так как sk мы выбирали как максимальное. 2) ∀ b ∈ B: b ≥ s? Предположим противное, ∃ b < s b0 <s0 b0 =s0, b1 < s1 … b0 =s0, b1 = s1, … , bk < sk ∀ х ∈ Dk+1 ⊂ D s = s0,s1…skxk+1… ⇒ x>b пришли к противоречию. 2’’) {0} ∉ D , а ∈ D . D' = {x’: x’ = x-a, x ∈ D} ⇒ {0} ∈ D’ , далее доказательство аналогично. 3) ∃ b ∀ х ∈ D х ≥ b ⇒ ∀ х ∈ D –х ≤ -b D’ = {x’:x’=-x; x ∈ D}, то D’ – ограниченное сверху, доказательство аналогично пунктам 1) и 2).
Свойство точной верхней (нижней) грани. Леммы о существовании рационального и иррационального числа между двумя вещественными числами.
ТЕОРЕМА: Для того, чтобы β являлось точной верхней гранью D, необходимо и достаточно:
1) ∀ х ∈ D: х ≤ β
2) ∀ ε > 0 ∃ х ∈ D : х > β – ε
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Необходимость:
β = sup D ⇒ β ∈ В ∀ х ∈ D х ≤ β – 1 – доказано.
Предположим противное, ∃ ε > 0, ∀ х ∈ D, х ≤ β – ε ∈ В. Но β – ε < β = sup D, пришли к противоречию.
Необходимость доказана.
Достаточность:
1) ∀ х ∈ D: х ≤ β ⇒ β ∈ В
Предположим противное, ∃ b ∈ В: b < β
Пусть ε = β – b
Тогда, из пункта 2) ⇒ ∃ х ∈ D: х > β – ε = β – β + b = b ⇒ х > b ⇒ b ∉ B – пришли к противоречию. Достаточность доказана.
Для нижней точной нижней грани доказывается аналогично.
ЛЕММА: Для любых двух вещественных чисел найдется рациональное число, лежащее между ними на числовой оси.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
∀ х,у ∈ R : х < у ∃ r ∈ Q : х < r < у
а = у-х > 0
∃ n ∈ N : а * n ≥ 1 (аксиома Архимеда)
(у-х)*n ≥ 1
у*n –х*n ≥ 1 | *2
2*у*n –2*х*n ≥ 2
∃ m ∈ Z : 2*х*n < m < 2*у*n
х < m / 2 * n < у
r = m / 2 * n ∈ Q – такое число нашлось.
ЛЕММА: Для любых двух вещественных чисел найдется иррациональное число, лежащее между ними на числовой оси.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
∀ х,у ∈ R : х < у ∃ q ∈ R \ Q : х < q < у
х < у | *√ 2
√ 2 * х < √ 2 у
∃ r ∈ R : √ 2 * х < r < √ 2 * у
х < r / √ 2 < у
q = r / √ 2 * х ∈ R \ Q - такое число нашлось.
Метод математической индукции. Определение n!, Сnk . Доказательство равенства Cnk + Сnk+1 = Cn+1k+1 . Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.
Для того, чтобы доказать, что утверждение А верно ∀ n ≥ m (n , m ∈ N ) необходимо доказать, что:
А верно для n = m – База индукции.
Предположим, что А верно при n = k.
А верно для n = k+1.
Предположим противно, что при выполнении условий 1,2,3 А верно не для всех n ≥ m. Тогда, выберем такое n0 = min n, что Аn0 – не верно ⇒ Аm, Аm+1,…, An0-1 – верно. Тогда:
n = m противоречит пункту 1.
n0 > m. Но, так как An0-1 – верно, исходя из пункта 3, верно и Аn0 – верно. Пришли к противоречию.
n! – факториал. n! = 1*2*3*…*n Если n – четное, то n!! = 2*4*…*(n-2)*n. Если n – нечетное, то n!! = 1*3*…*(n-2)*n.
Сnk - число сочетаний из n по k. Сnk = n! /( (n-k)! * k! )
Cnk + Сnk+1 = Cn+1k+1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Разложим правую часть, приведем к общему знаменателю, приведем подобные в числителе – что и требовалось доказать.
0! = 1 – это важно.
Бином Ньютона:
(а+b)n = i=0∑n Cni an-ibi
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Доказательство по методу математической индукции. 1 и 2 пункт – все ясно. 3 пункт – переписать вручную из тетради.
Неравенство Бернулли:
∀ а > -1, ∀ n ∈ N (а+1)n ≥ 1 + n*а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
n = 1: а+1 ≥ 1 + а – верно
n = k: (а+1)k ≥ 1 + k*а
n = k+1: (а+1)k+1 ≥ 1 + (k+1)*а (а+1)k+1 = (а+1)* (а+1)k = (а+1)*(1 + k*а) = 1 + а * (k+1) + k*a2 (так как k*a2 > 0) ≥ 1 + а * (k+1) - доказано.