9. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

ТЕОРЕМА: Если последовательность сходящаяся, то ∃! а = lim _{n ⟶ ∞} х_n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Предположим противное, ∃ а_{1 =} lim _{n ⟶ ∞} х_n, ∃ а₂ = lim _{n ⟶ ∞} х_n, а₁<а₂

а₁ = lim_{n ⟶∞}х_n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N₁ х _n ∈ U(а₁,ε).

а₂ = lim_{n ⟶∞}х_n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N₂ х _n ∈ U(а₂,ε).

Пусть ε = а₂ – а₁ / 2_, N = max (N₁,N₂), ∀ n ≥ N х _n ∈ U(а₁,ε), х _n ∈ U(а₂,ε) ⇒ х _n ∈ U(а₁,ε) ⋂ U(а₁,ε) = ∅ - пришли к противоречию ⇒ только один предел.

ТЕОРЕМА: Если последовательность сходящаяся, то она ограничена

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

{х_n } - сходящаяся ⇔ ∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N |х _n - а|< ε

∃ М > 0 ∀ n ∈ N |х _n| ≤ М? Пусть ε = 1 ⇒ ∃N(ε): ∀ n ≥ N |х _n - а|<1 ⇒ а-1 < х _n < а+1 Пусть d_{1 =} max (|а-1|, |а+1|) Тогда, -d₁ < а-1 < а+1 < d₁ ⇔ ∀ n ≥ N |х _n| < d₁ Пусть М = max (|х₁|,|х₂|,…,|х _n-1|, d₁). Тогда ∀ n ∈ N |х _n| ≤ М ⇒ Последовательность ограниченна. Доказано.

10. Теоремы о предельном переходе в неравенствах (х _n ≤ b, х _n ≥ b, х _n ≤ у _n, х _n ≤ z _n ≤ у _n)

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≥ b, {х _n } – сходящаяся, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n ≥ b

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а: а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N₂ |х _n - а| < ε а ≥ b? Предположим противное, b>а. Тогда пусть ε = b–а

∀ n ≥ N₂ |х _n -а| < b-a 2*a-b < x_n<b – Пришли к противоречию, х _n ≥ b. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ: Строгое неравенство при предельном переходе не сохраняется.

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≤ b, {х _n } – сходящаяся, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n ≤ b

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а: а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N₂ |х _n - а| < ε а ≤ b? Предположим противное, а > b. Тогда пусть ε = а-b >0 ∀ n ≥ N₂ |х _n - а| < а-b b<х _n < 2*а – b – пришли к противоречию. х _n ≤ b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≥ у _{n ,} {х _n },{у _n } – сходящиеся, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n ≥ lim _{n ⟶ ∞} у _n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть z_n = у _n - х _n ≥ 0. ∀ n ≥ N₁ {z _n } – сходящаяся. Тогда lim _{n ⟶ ∞} z _n ≥ 0 и lim _{n ⟶ ∞} z _n = lim _{n ⟶ ∞} х _n - lim _{n ⟶ ∞} у _n lim _{n ⟶ ∞} х _n - lim _{n ⟶ ∞} у _n ≥ 0 lim _{n ⟶ ∞} х _n ≥ lim _{n ⟶ ∞} у _n - что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≥ у _{n ,} lim _{n ⟶ ∞} у _n = +∞, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n = +∞,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} у _n = +∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N_2, у _n > 1/ ε Тогда, ∀ ε > 0, ∃ N = max (N_1, N₂): х _n ≥ у _n > 1/ε ⇒ х _n > 1/ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _n = +∞ - что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≤ у _{n ,} lim _{n ⟶ ∞} у _n = -∞, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n = -∞,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} у _n = -∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N₂ у _n < -1/ ε Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N = max (N_1, N₂): х _n ≤ у _n < -1/ε ⇒ х _n < -1/ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _n = -∞ - что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: (О ТРЕХ ПРЕДЕЛАХ) Если ∀ n ≥ N_1, х _n ≤ z _n ≤ у _n, {х _n },{у _n } – сходящиеся, lim _{n ⟶ ∞} х _n = lim _{n ⟶ ∞} у _n = а, Тогда {z _n } – сходящаяся, lim _{n ⟶ ∞} z _n = а.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} х _n = а ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂ (ε): ∀ n ≥ N₂ |х _n -а|< ε lim _{n ⟶ ∞} у _n = а ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₃ (ε): ∀ n ≥ N₃ |у_n -а|< ε

∀ n ≥ N₁: х _n ≤ z _n ≤ у _n ⇔ х _n-а ≤ z _n -а ≤ у _n-а (вычли из каждого неравенства а). ∀ n ≥ N₂ х _n –а > - ε (следует из определения предела х _n) ∀ n ≥ N₃ у_n -а< ε(следует из определения предела у_n) Пусть N = max ( N₁, N₂, N₃). Тогда ∀ n ≥ N -ε < z _n –а < ε | z _n –а | < ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} z _n = а – что и требовалось доказать.