15. Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности, бесконечно большой последовательности.

{у _n } – подпоследовательность последовательности {х _n}, если {n_k} ⊂ N – строго монотонно возрастающая, такая что {у _n } = {х _nk}

ТЕОРЕМА: Любая подпоследовательность сходящейся последовательности является сходящейся.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} х _n = lim _{n ⟶ ∞} х _nk ?

lim _{n ⟶ ∞} х _n =a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N |х _n - а| < ε

n_k ≥ k ∀ k ∈ N

Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ k ≥ N (n_k ≥ k ≥ N ) | х _nk -а|< ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _nk =a = lim _{n ⟶ ∞} х _n – доказано.

ТЕОРЕМА: Если предел последовательности равен +∞, то предел её подпоследовательности также равен +∞.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} х _n =+∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N х _n > 1/ε

Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ k ≥ N (n_k ≥ k ≥ N ) х _nk > 1/ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _nk =+∞ = lim _{n ⟶ ∞} х _n – доказано.

ТЕОРЕМА: Если предел последовательности равен -∞, то предел её подпоследовательности также равен -∞.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} х _n =-∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N х _n < -1/ε

Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ k ≥ N (n_k ≥ k ≥ N ) х _nk < -1/ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _nk =-∞ = lim _{n ⟶ ∞} х _n – доказано.

ТЕОРЕМА: Если последовательность бесконечно большая, то и её подпоследовательность бесконечно большая.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} х _n =∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N |х _n|>1/ε

Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ k ≥ N (n_k ≥ k ≥ N ) |х _nk| >1/ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _nk =∞= lim _{n ⟶ ∞} х _n – доказано.

16. Теорема Больцано-Вейерштрасса (принцип компактности ограниченной последовательности).

ТЕОРЕМА: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

{х _n} – ограниченная ⇒ ∀ n ∈ N х _n ∈ [а,b]. Разделим этот отрезок на две части, и назовем его [а₁,b₁]/ Длина его будет равна (b-а)/2. Продолжим этот процесс и получим отрезок [а_k,b_k].

∀ ε > 0 b_k – a_k = (b-a)/2^k < ε

2^k > (b-a) / ε k > log ₂ ((b-а)/ε) ⇒ Т = {[a_k,b_k]} – стягивающаяся система вложенных отрезков

Т – стягивающаяся система вложенных отрезков ⇒ ∃! х₀ ∈ [a_k,b_k], ∀ k ∈ N ⇔ a_k ≤ х₀ ≤ b_k

{a_k} – монотонно возрастает и ограничена сверху ⇒ ∃ lim _{k ⟶ ∞} a_k {b_k} – монотонно убывает и ограничена снизу ⇒ ∃ lim _{k ⟶ ∞} b_k

lim _{k ⟶ ∞} (a_k -b_k) = lim _{k ⟶ ∞} ((a –b)/2^k) = 0 lim _{k ⟶ ∞} (a_k -b_k) = lim _{k ⟶ ∞} a_k - lim _{k ⟶ ∞} b_k = 0 ⇔ lim _{k ⟶ ∞} a_k = lim _{k ⟶ ∞} b_k

Пусть подпоследовательность {х _nk} ∈ [a_k,b_k]. Тогда, ∀ k ∈ N a_k ≤ х _nk ≤ b_k. По теореме о трех пределах,

lim _{k ⟶ ∞} a_k = lim _{k ⟶ ∞} b_k = lim _{k ⟶ ∞} х _nk - что и требовалось доказать.

17. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.

{х _n} – фундаментальная ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n ≥ N ∃ m ≥ N |х _n – х _m | < ε ⇔ ∀ε>0 ∃N(ε) ∀n≥N ∀p∈N |х_n+p-х _n|<ε

ТЕОРЕМА: (КРИТЕРИЙ КОШИ) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была фундаментальной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: {х _n} – сходящаяся ⇒ {х _n} – фундаментальная.

{х _n} – сходящаяся ⇔ ∃ а ∈ R а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ε'>0 ∃ N(ε') ∀ n ≥N |х_n -а|<ε' |х _n – х _m| = |х _n –а + а – х _m| ≤ |х _n –а| + |х _m – а|

∀ m > N ∀ n > N |х _n –а| + |х _m – а| < ε' + ε' = 2*ε' ∀ ε > 0 (ε' = ε / 2) ∃ N (ε') ∀ n > N ∀ m > N |х _n – х _m| < ε - {х _n} – фундаментальная

Достаточность: {х _n} – фундаментальная ⇒ {х _n} – сходящаяся.

∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n ≥ N ∃ m ≥ N |х _n – х _m | < ε Покажем, что {х _n} – фундаментальная: ε = 1 ∃ N₁: ∀ n ≥ N₁, m = N₁: |х _n – х _N1| < 1 х _N1 –1 < х _n < х _N1 +1

Пусть d = max (|х _N1 –1|, | х _N1 +1|), тогда ∀ n ≥ N₁ х_n < |d| Пусть М = max (d, |х₁|,…, |х _{N1 –1}|). Тогда, ∀ n ∈ N |х_n| ≤ М ⇒ {х _n} – ограниченная

По теореме Больцано-Вейерштрасса: ∃ {х _nk} – сходящаяся ⇒ ∃а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk

а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ?

| х _n –а | = | х _n - х _nk + х _nk –а | ≤ | х _n - х _nk | + | х _nk –а |

∀ k > N₁ n_k ≥ k > N₁ ⇒ ∀ n ≥ N₁, ∀ k > N₁ | х _n - х _nk | < ε' , так как {х _n} – фундаментальная а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk ⇔ ∀ε'>0 ∃N₂(ε') ∀k≥N₂ | х _nk –а | < ε'

| х _n - х _nk | + | х _nk –а | < 2*ε'

∀ ε > 0 (ε' = ε/2) ∃ N = max (N₁(ε'),N₂(ε')) ∀n≥N | х _n –а | < ε ⇒ {х _n} – сходящаяся – доказано.

18. Частичный предел последовательности. Верхний, нижний пределы последовательсноти. Теорема о необходимом и достаточном условии того, что а = ^--lim _{n ⟶ ∞} х _n (а = _--lim _{n ⟶ ∞} х _n). Теорема о необходимом и достаточном условии сходящейся последовательности (в терминах верхнего и нижнего пределов).

а – частичный предел {х _n} ⇔ ∃ {х _nk} – сходящаяся, а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk

а – верхний предел {х _n} ⇔ а – максимальный из частичных пределов

а – нижний предел {х _n} ⇔ а – минимальный из частичных пределов

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы число а было верхним пределом {х _n}, необходимо и достаточно ∀ε>0: 1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х_n < а + ε. 2) ∀ k ∈ N ∃ n_k ≥ k х _nk > а – ε

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: а = ^--lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇒ ∃ {х _nk} : а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk ⇒ правее а-ε бесконечное число элементов.

Предположим противное, правее а+ε лежит бесконечное число элементов.

Тогда, х _n ≥ а+ε ⇒ х _nk ≥ а+ε ⇒ lim _{k ⟶ ∞} х _nk ≥ а+ε > а – пришли к противоречию.

Достаточность: ∀ε>0: 1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х_n < а + ε. 2) ∀ k ∈ N ∃ n_k ≥ k х _nk > а – ε

1. ∀ k ≥ N n_k ≥k: х_nk < а + ε

2. х _nk > а – ε ⇒ ∃ а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk – частичный предел.

а – максимальный частичный предел?

Предположим противное, ∃b>а и b = lim _{m ⟶ ∞} х _nm ⇒ ∀ ε > 0 в ε-окрестности точки b лежит бесконечное количество точек { х _nm } ⇒ бесконечное количество точек { х _n }.

Пусть ε = b-a/2. Тогда, правее точки а+ε = b-ε находится бесконечноt количество точек, что противоречит условию 1 – доказано.

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы число а было нижним пределом {х _n}, необходимо и достаточно ∀ε>0: 1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х_n > а - ε. 2) ∀ k ∈ N ∃ n_k ≥ k х _nk < а + ε

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: а = _-- lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇒ а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk ⇒ левее а+ε бесконечное число элементов – (2) доказано.

Предположим противное, левее а-ε лежит бесконечное число элементов.

Тогда, х _n ≤ а-ε ⇒ х _nk ≤а-ε ⇒ lim _{k ⟶ ∞} х _nk ≤а-ε < а – пришли к противоречию.

Достаточность: ∀ε>0: 1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х_n > а - ε. 2) ∀ k ∈ N ∃ n_k ≥ k х _nk < а + ε

∀ ε ∃ N(ε) ∀ k ≥ N n_k ≥ k : х_nk > а – ε (1) х _nk < а + ε (2) ⇒ а – частичный предел.

а – минимальный частичный предел?

Предположим противное, существует b, меньшее чем а, и b= lim _{m ⟶ ∞} х _nm. Тогда, ∀ ε > 0 в эпсилон окрестности бесконечное число элементов х _nm, а следовательно и х _n.

Пусть ε = b-a/2. Тогда, левее b+ε =а-ε находится бесконечное количество элементов, что противоречит пункту 1. Доказано.

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы {х_n} была сходящейся, необходимо и достаточно, _-- lim _{n ⟶ ∞} х _n = ^--lim _{n ⟶ ∞} х_n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: ∃ а=lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇒ ∀ {х_nk} lim _{k ⟶ ∞} х _nk = a ⇒ _-- lim _{n ⟶ ∞} х _n = ^--lim _{n ⟶ ∞} х_n

Достаточность: _-- lim _{n ⟶ ∞} х _n = ^--lim _{n ⟶ ∞} х_n = а

∀ ε > 0 ∃ N₁(ε): ∀ n ≥ N₁ х_n < а+ε ∀ ε > 0 ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N₂ х_n > а-ε

N = max (N₁,N₂). Тогда, ∀ n ≥ N а-ε < х_n < а+ε ⇒ а=lim _{n ⟶ ∞} х _n - Доказано.