- •Свойство точной верхней (нижней) грани. Леммы о существовании рационального и иррационального числа между двумя вещественными числами.
- •Система вложенных отрезков. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о стягивающейся системе вложенных отрезков.
- •Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- •Арифметические операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.
- •Бесконечно малые последовательности и их свойства
- •Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса( о существовании предела у монотонной последовательности)
- •Определение числа «е»
- •Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности, бесконечно большой последовательности.
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса (принцип компактности ограниченной последовательности).
- •Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.
- •Числовая функция. Суперпозиция функций. Проколотая окрестность точки. Предельная точка множества (точка сгущения множества). Изолированная точка множества (примеры).
- •Определение предела функции по Гейне. «Локальность» понятия предел функции. Предел функции по множеству. Односторонние пределы.
- •Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.
Арифметические операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.
ТЕОРЕМА: Если {х n },{у n } – сходящиеся, то {хn ± у n } – сходящаяся, и lim n ⟶ ∞ (хn ± у n) = lim n ⟶ ∞ х n ±lim n ⟶ ∞ у n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
∃ а = lim n ⟶ ∞ х n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N1 (ε) : ∀ n ≥ N1 |х n -а|< ε’ ∃ b = lim n ⟶ ∞ y n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N2 (ε) : ∀ n ≥ N2 |y n -b|< ε’
lim n ⟶ ∞ (хn ± у n) = a±b? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n > N | хn ± у n – (a±b)| < ε |(х n-а) ± (у n-b)| < | х n-а | + | у n-b | < ε’+ ε’ (возьмем N = max (N1, N2), ∀ n ≥ N) = 2*ε‘
Пусть ε =2*ε‘. Тогда ∀ ε > 0 (ε’ = ε/2) ∃ N = max (N1(ε ’), N2(ε ’)): ∀ n > N | хn ± у n – (a±b)| < ε – что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА: Если {х n }– сходящаяся, и ∀ α ∈ R, тогда {α*х n }– сходящаяся и lim n ⟶ ∞ α*х n = α* lim n ⟶ ∞ х n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
∃ а = lim n ⟶ ∞ х n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N(ε’) ∀ n ≥ N |х n -а|< ε’
lim n ⟶ ∞ α*х n = α*а? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε) ∀ n ≥ N |α*х n –α*а|< ε |α*( х n -а)| = |α|*|х n -а| Если α = 0, то 0 < ε – очевидно Если α ≠ 0, то |α|*|х n -а| ≤ |α|*ε’. Пусть ε = |α|*ε’.
Тогда, ∀ ε > 0 ( ε’ = ε /|α|) ∃ N ∀ n ≥ N |α*х n –α*а|< ε – что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА: Если {х n },{у n } – сходящиеся, то {хn * у n } – сходящаяся, и lim n ⟶ ∞ (хn * у n) = lim n ⟶ ∞ х n *lim n ⟶ ∞ у n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
∃ а = lim n ⟶ ∞ х n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N1 (ε) : ∀ n ≥ N1 |х n -а|< ε’ ∃ b = lim n ⟶ ∞ y n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N2 (ε) : ∀ n ≥ N2 |y n -b|< ε’
lim n ⟶ ∞ (хn * у n) = a*b? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n > N | хn * у n – (a*b)| < ε | хn * у n – у n *а + у n *а – (a*b)| = | (хn-а)* у n + a*( у n - b)| < |(хn-а)* у n | + | a*( у n - b)|
{у n} – сходящаяся, ⇒ ∃ М > 0 ∀ n ∈ N | у n | ≤ М. N = max (N1, N2)
|(хn-а)* у n | + | a*( у n - b)| ≤ М*|(хn-а) | + | a*( у n - b)| < М* ε’+ ε’*|а| = ε’*(М+|а|)
Пусть ε = ε’*(М+|а|).
Тогда, ∀ ε > 0 (ε’ = ε / (М+|а|), N1(ε), N2(ε)), N = max (N1, N2), ∀ n ≥ N | хn * у n – (a*b)| < ε – доказано.
ЛЕММА: Если lim n ⟶ ∞ у n = b, b ≠ 0, тогда ∃ N : ∀ n ≥ N |у n| > |b|/2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
lim n ⟶ ∞ у n = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N1(ε) ∀ n ≥ N1 |y n -b|< ε
Пусть ε = |b|/2>0
|y n -b|<|b|/2 | *(-1) - |y n -b|>-|b|/2
|b| = |b – yn + yn| ≤ | b – yn | + | yn | | yn | ≥ |b| - | b – yn | = |b| - |b| /2 = |b| /2 | yn | ≥ |b| /2 - что и требовалось доказать.
ЛЕММА: Если lim n ⟶ ∞ у n = b, b ≠ 0, тогда lim n ⟶ ∞ 1/у n = 1/b
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
lim n ⟶ ∞ у n = b ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N (ε’) ∀ n ≥ N |y n -b|< ε’ lim n ⟶ ∞ 1/у n = 1/b ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N2(ε’) ∀ n ≥ N2 |1/y n -1/b|< ε’
∀ n ≥ N1, | yn | ≥ |b| /2 ⇔ 1/ | yn | < 2/|b|
|1/y n -1/b| = | b - y n | / | y n |* | b | < 2*| b - y n | / b2 < 2*ε’/b2
Тогда, ∀ ε > 0 (ε’ = ε*b2/2, N2(ε’)) N = max (N1,N2) : ∀ n ≥ N |1/y n -1/b|< ε’ – доказано
ТЕОРЕМА: Если {х n },{у n } – сходящиеся, lim n ⟶ ∞ у n ≠ 0, то {х n /у n } – сходящаяся и lim n ⟶ ∞ х n /у n = lim n ⟶ ∞ х n /lim n ⟶ ∞ у n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
lim n ⟶ ∞ х n /у n = lim n ⟶ ∞ (х n*(1/ у n)) = lim n ⟶ ∞ х n* lim n ⟶ ∞ 1/у n = lim n ⟶ ∞ х n * (1/ lim n ⟶ ∞ у n) = = lim n ⟶ ∞ х n / lim n ⟶ ∞ у n (по предыдущим леммам и теоремам)