Практическое занятие №3

Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Крамера.

Цель занятия: Научиться решать системы линейных уравнений различными методами.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Решить системы линейных уравнений в матричной форме и по правилу Крамера.

1)

2)

3)

4)

5)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе

2. Выполнить задания

3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;

2. Выполненное задание;

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как записать простейшее матричное уравнение?

2. Укажите алгоритм решения простейшего матричного уравнения.

3. Как проверить правильность решения простейшего матричного уравнения?

4. Сформулируйте теорему Крамера.

5. Запишите формулы Крамера.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Обозначим матрицу коэффициентов перед неизвестными: А = ,

вектор неизвестных: Х = , вектор свободных членов: В =

Тогда систему линейных уравнений можно записать в равносильной матричной форме:

A·X = B

Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Такое уравнение решается следующим образом. Если матрица А – невырожденная (т.е. ), тогда решение находится по формуле: Х = А^-1В

Пример. Решить матричным методом систему уравнений:

Составим матрицы A = , B = , Х = .

Найдем обратную матрицу А^-1:

5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30,

А₁₁ = = -5; А₂₁ = – = –1; А₃₁ = = -1;

А₁₂ = – А₂₂ = А₃₂ = –

А₁₃ = А₂₃ = – А₃₃ =

A^-1 = = ;

Находим матрицу Х:

Х = = А^-1В =  = .

Решение системы: x =1; y = 2; z = 3.

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам

, где - определитель системы

, , …,

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:

 = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₁ = = 1; x₂ = = 2; x₃ = = 3.