Практическое занятие №15

Наименование занятия: Нахождение точек перегиба и направлений выпуклости, асимптот графика функции

Цель занятия: Научиться исследовать функции на выпуклость, вогнутость, находить асимптоты графика функции

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Исследовать функции на выпуклость, вогнутость. Найти точки перегиба.

1)

2)

3)

4)

5)

2. Найти асимптоты графиков функций:

1)

2)

3)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе

2. Выполнить задания

3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;

2. Выполненное задание;

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дайте определение выпуклой, вогнутой функции.

2. Как исследовать функцию выпуклость, вогнутость?

3. Что называется асимптотами графика функции?

4. Какие виды асимптот вы знаете? Как они находятся?

ПРИЛОЖЕНИЕ

График функции f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной к любой его точке. График функции f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной к любой его точке.

Теорема (достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции). Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и она положительна, то функция вогнута на этом интервале. Если же f′′(x) отрицательна на интервале (a; b), то функция выпукла на этом интервале.

Точка графика функции при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба) Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и при переходе через точку х = x₀ f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = x₀ является точкой перегиба.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты. Если , , или , то прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой y = f(x). Вертикальные асимптоты обычно сопровождают точки разрыва второго рода и если функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Наклонная асимптота задается уравнением y = kx + b. Для точного определения этой прямой необходимо найти коэффициенты k и b. Они находятся следующим образом: ,

Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой, т.к. в этих точках функция имеет разрыв 2-го рода.

Найдем наклонные асимптоты: , следовательно, наклонной асимптоты функция не имеет. Найдем , т.е. y = 0 – горизонтальная асимптота.