- •Практическое занятие №1
- •Вычислить определитель .
- •Вычислить определитель .
- •Действия с матрицами
- •Определители
- •Способы вычисления определителей:
- •Практическое занятие №2
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Практическое занятие №3
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Метод Крамера для решения систем линейных уравнений
- •Практическое занятие №4
- •Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
- •Метод Гаусса
- •Практическое занятие №5
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Дадаян а.А. «Математика», 2004г.
- •Действия над векторами
- •Координаты вектора
- •Действия над векторами, заданными своими координатами
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •Практическое занятие №6
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Дадаян а.А. «Математика», 2004г.
- •Уравнение прямой по точке и нормальному вектору
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Практическое занятие №7
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Дадаян а.А. «Математика», 2004г.
- •Практическое занятие №8
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Действия с комплексными числами в алгебраической форме
- •Геометрическая форма комплексного числа
- •Практическое занятие №9
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
- •Практическое занятие №10
- •Основные теоремы о пределах
- •Типы неопределенностей и методы их раскрытия
- •Неопределенность вида .
- •Неопределенность вида .
- •Замечательные пределы
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •Практическое занятие №11
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Точки разрыва и их классификация
- •Классификация точек разрыва
- •Практическое занятие №12
- •Производная сложной функции
- •Табличные значения производных основных функций
- •Практическое занятие №13
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Дадаян а.А. «Математика», 2004г.
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Практическое занятие №14
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Производные высших порядков
- •Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Практическое занятие №15
- •Практическое занятие №16
Практическое занятие №16
Наименование занятия: Полное исследование функций. Построение графиков.
Цель занятия: Научиться исследовать функции и по результатам исследования строить графики.
Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»
Литература:
Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
Дадаян А.А. «Математика», 2004г.
Задание на занятие:
1. Исследовать функции по общей схеме и построить графики.
1)
2)
3)
Порядок проведения занятия:
Получить допуск к работе
Выполнить задания
Ответить на контрольные вопросы.
Содержание отчета:
Наименование, цель занятия, задание;
Выполненное задание;
Ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы для зачета:
Как найти область определения функции?
Как исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность?
Как найти точки пресечения графика функции с осями координат?
Как исследовать функцию на монотонность, экстремумы, выпуклость вогнутость, точки перегиба?
ПРИЛОЖЕНИЕ
Схема исследования функций
Найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются.
Установить, является функция четной или нечетной или ни той ни другой. Если функция четна или нечетна, то достаточно рассмотреть ее значения при x>0, а затем симметрично относительно оси OY или начала координат восстановить ее и для значений x<0.
Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то достаточно рассмотреть ее на одном периоде.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно)
Провести исследование функции на экстремум и найти интервалы возрастания и убывания функции.
Найти точки перегиба кривой и интервалы выпуклости, вогнутости функции.
Найти асимптоты графика функции.
Пользуясь результатами шагов 1-7, строят график функции. Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1) Областью определения функции являются промежутки (-; -1) (-1; 1) (1; ). Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Функция является нечетной, т.к. .
Функция не периодическая.
График пересекает оси координат в точке (0; 0).
5) Находим критические точки.
Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
- < x < - , y > 0, функция возрастает
- < x < -1, y < 0, функция убывает
-1 < x < 0, y < 0, функция убывает
0 < x < 1, y < 0, функция убывает
1 < x < , y < 0, функция убывает
< x < , y > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.
6) Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < - , y < 0, кривая выпуклая
- < x < -1, y < 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0, y > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y > 0, кривая вогнутая
< x < , y > 0, кривая вогнутая
7) Найдем асимптоты кривой. Прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами, т.к. в них односторонние пределы равны бесконечности. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты: y = x.
8) Построим график функции по результатам исследования.