Основные теоремы о пределах

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Пример. Вычислить предел .

Сначала найдем предел знаменателя: = 6∙1² = 6. Предел знаменателя отличен от нуля, следовательно, можно воспользоваться теоремами 4, 1:

= = = = =

Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .

Типы неопределенностей и методы их раскрытия

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

1. Неопределенность вида .

Пример. Вычислить предел  

При подстановке вместо переменной х числа -2 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х+2. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа -2 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

 

Пример. Вычислить предел

При подстановке х =0 получается неопределенность вида .

Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное числителю выражение:

= .

2. Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности нужно каждое слагаемое числителя и знаменателя разделить на переменную в наибольшей степени и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность.

Пример. Вычислить предел

Здесь числитель и знаменатель не имеют предела, т.к. оба неограниченно возрастают. В этом случае имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим каждое слагаемое на переменную в наибольшей степени, т.е. на х⁴. Получим:

= =

Величины являются бесконечно малыми при и их пределы равны нулю. Следовательно, искомый предел равен .

Пример. Вычислить предел

Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на х². Получим:

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Следствия: 1) ; 2) ; 3) .

Второй замечательный предел:

Следствие:

Третий замечательный предел:

Четвертый замечательный предел: при , .

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Пример. Вычислить предел