Сравнение бесконечно малых функций

Пусть (х) и (х) бесконечно малые функции при х  А. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Бесконечно малые функции (х) и (х) при х  А называются эквивалентными бесконечно малыми, если . Записывают (х) ~ (х).

При х0 эквивалентными бесконечно малыми являются следующие функции:

1. sin x~ х;

2. tg x ~ x;

3. ln(1+x) ~ x;

4. e^x – 1 ~ x;

5. 1 – cos x ~ ;

6. a^x – 1 ~ x lna;

7. (1 + x)^ – 1 ~ x;

8. arcsin x ~ x;

9. arctg x ~ x.

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример. Найти предел .

Так как 1 – cos x = при х0, то .

Практическое занятие №11

Наименование занятия: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва.

Цель занятия: Научиться вычислять односторонние пределы, находить точки разрыва, определять их тип.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Теория пределов. Непрерывность»

Литература:

1. Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Вычислить односторонние пределы:

1)

2)

2. Вычислить односторонние пределы при следующих функций:

1)

2)

3 . Функция определена следующим образом:

у = 0 при х < 0;

у = х при 0 ≤ х < 1;

у = - х² + 4х -2 при 1 ≤ х < 3;

у = 4 – х при x > 3.

Будет ли эта функция непрерывной? Построить график.

4. Найти точки разрыва функций и определить их тип:

1)

2)

3)

4)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе

2. Выполнить задания

3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;

2. Выполненное задание;

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется односторонним пределом функции?

2. Как исследовать функцию на непрерывность?

3. Как определить тип разрыва?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Если f(x)  b при х  а только при x < a, то - называется левым пределом функции f(x) в точке х = а, а если f(x)  b при х  а только при x > a, то называется правым пределом функции f(x) в точке х = а.

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы b₁ и b₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х=а.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва функции.