§ 5. Условный экстремум функции двух переменных. Метод Лагранжа

Условным экстремумом функции z= f (x, y) называется экстремум, который имеет место в ситуации, когда независимые переменные х и у связаны условием – ограничением g(x,y) = 0 (1). То есть х и у перестают быть независимыми переменными, так как связаны условием (1). А исследуемая функция при этом из функции двух переменных превращается в функцию одной переменной.

Действительно, если условие - ограничение (1) удается разрешить, например, относительно у, получив (1) в виде у = (x), то имеем . То есть z зависит только от переменной х и представляет собой функцию одной переменной. Таким образом, условным экстремум функции z = f ( x, y ) при оказывается экстремум функции одной переменной.

Если условие - ограничение (1) нецелесообразно или невозможно разрешить относительно одной из переменных, то для выявления условного экстремума используется метод Лагранжа.

Суть метода Лагранжа состоит в построении функции трех переменных, называемой функцией Лагранжа. Функция Лагранжа L представляет собой сумму исследуемой функции и функции - ограничения (1), умноженной на новую независимую переменную  (называемую множителем Лагранжа). L(x,y,) = f(x,y) +  . Использование этой функции позволяет свести задачу отыскания условного экстремума функции двух независимых переменных к задаче на абсолютный экстремум функции трех независимых переменных

Если функции f (x, y) и g (x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка и – точка условного экстремума функции f (x, y) при наличии ограничения (1), а , тогда существует единственное число такое, что точка  является критической точкой функции Лагранжа, то есть удовлетворяет следующей системе трех уравнений c тремя неизвестными:

или (2)

так как всегда ( x, y,  ) = g( x, y ).

То есть, если двумерная точка есть точка условного экстремума функции при наличии ограничения (1), то трехмерная точка  – является критической точкой функции Лагранжа. Отсюда следует, что для нахождения точек условного экстремума функции при наличии ограничения (1) следует прежде всего найти критические точки функции Лагранжа, то есть найти все решения системы уравнений (2). Далее из критических точек функции Лагранжа  следует удалить последнюю координату λ₀. Затем для каждой точки необходимо выяснить, является ли она в действительности точкой условного экстремума функции при наличии ограничения (1) или не является. Для этого рассматривается с учетом ограничения (1).

П р и м е р 3. Найти экстремум функции при условии .

► Составим функцию Лагранжа

Найдем критические точки функции Лагранжа, для этого составим и решим систему уравнений (2).

Из первых двух уравнений следует, что . Используя третье уравнение, получим – .

Таким образом, имеем единственную критическую точку функции Лагранжа – . Удалив значение ₀ = - 1, получим точку . Проверим, является ли найденная точка точкой условного экстремума. Для этого найдем в этой точке. Так как то поэтому Следовательно, найденная точка – действительно экстремальная точка. Это – точка условного минимума исследуемой функции. ◄