§ 3. Экономическая интерпретация частных производных

Пусть задана производственная функция z = f (x, y), выражающая издержки производства двух видов продукции x и y. Предположим, что объем производства продукции первого вида изменился на , а продукция второго вида выпускается в прежнем объеме. Тогда издержки производства изменятся на величину, равную

Отношение выражает среднее приращение производственной функции при единичном приращении х, или средние издержки производства на единицу продукции х. Переходя к пределу при , получим предельные издержки на единицу продукции х:

Они показывают стоимость производства (х+1) – ой единицы продукции при фиксированном объеме у – продукции.

Аналогично, предельные издержки на единицу продукции y это .

Это стоимость производства (у+1) – ой единицы продукции при фиксированном объеме х – продукции.

В экономическом анализе широко используется специальная характеристика, показывающая на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на один процент. Эта характеристика относительного процентного изменения функции называется эластичностью функции.

Эластичность производственной функции , относительно х есть величина , показывающая приближенное процентное изменение производственной функции z , соответствующее приращению х на один процент при условии, что y не меняется.

Аналогично, эластичность производственной функции относительно фактора производства y, есть показатель:

, указывающий приближенное процентное изменение производственной функции z, соответствующее приращению фактора y на один процент при условии, что фактор x не меняется.

Если производственная функция устанавливает зависимость выпуска продукции y от n производственных факторов в виде , то дифференциальными характеристиками такой функции являются:

(i = 1, …, n) – предельная эффективность фактора

(i = 1, …, n) – эластичность производственной функции относительно фактора x_i .

П р и м е р 1. Пусть – производственная функция, где z – издержки по выпуску продукции, x – трудовые ресурсы, y – производственные фонды. Найти приближенный процентный прирост издержек производства при х = 1 и у = 1.

► Приближенный процентный прирост функции z, соответствующий приращению независимой переменной x (y) на один процент, представляет собой ни что иное, как соответствующую эластичность функции, то есть:

и

Найдем частные производные по x и по y.

Поскольку то

,

и при имеем

Это означает, что при неизменных производственных фондах с увеличением трудовых ресурсов на 1% издержки производства увеличатся на 1,67%, а с увеличением производственных фондов на 1% издержки производства увеличатся на 1,33%. ◄

В экономических исследованиях часто требуется сравнивать эффективность различных факторов производства. В этом случае целесообразно зависимость между издержками производства z и факторами производства выражать в виде степенной функции

Например, объем производства y в зависимости от факторов выражается функцией . При этом коэффициенты эластичности равны соответствующим показателям степени . Они показывают, что на издержки производства наибольшее влияние оказывает фактор , так как его увеличение на 1% приводит к возрастанию выпуска продукции на 0,69 %. Заметим, что увеличение фактора на 1% приводит к снижению выпуска продукции на 0,21% ( коэффициент эластичности отрицателен ).