Будущая и текущая стоимость
Задача 2.1
В банк на срочный депозит внесено 100000 рублей под 12% годовых на год с простым начислением процентов. Какая сумма будет накоплена на его счету по истечении указанного срока? Какова была бы накопленная сумма вклада, если бы проценты начислялись ежемесячно и реинвестировались в сумму вклада?
Рекомендации по решению задачи:
Если доходность инструмента детерминирована, можно оценить будущую стоимость S вложений в настоящий момент средств P, другими словами: определить, сколько будет стоить в будущем рубль, вложенный сегодня. Преобразовав формулу относительно S, получим при простом, однократном начислении процентов:
,
(4)
где i – годовая ставка процента, выражается дробью (10% = 0.1 и т. д.); n – период владения (в годах).
При сложном начислении процентов:
,
(5)
где t0 – периодичность начисления сложных процентов в году (в днях); i – годовая ставка процента; t – период владения (дней).
В том случае, когда срок вложения исчисляется годами, а периодичность начисления процентов кратна месяцу, формулу (5) можно представить в виде:
,
(6)
где n – период владения (в годах); m – количество периодов начисления процентов в году.
Решение:
Используя формулу (4), определяем итоговую сумму при простом начислении процентов:
При сложном:
Ответ: При простом начислении процентов S = 112000 рублей; при сложном, ежемесячном начислении процентов S = 112682 рубля.
Задача 2.2
Платежи (финансовая рента) в размере 10 млн. рублей вносятся ежегодно под 55% годовых. Определить сумму, которая образуется на счете за 6 лет. Какова будет итоговая сумма, если платежи будут вноситься в начале каждого периода?
Рекомендации по решению задачи:
В данной задаче мы имеем дело с потоком равных периодических платежей, называемых финансовой рентой (аннуитет). В том случае, когда выплата по ренте осуществляется в конце периода (постнумерандо), наращенная сумма всех платежей с начисленными процентами S определяется по формуле:
,
(7)
где R – размер постоянного периодического платежа.
Если же выплаты производятся в начале периода (пренумерандо), то расчет ведется по формуле:
.
(8)
Решение:
Используя формулу (7), находим:
При условии, когда платежи вносятся в начале каждого периода:
Ответ: При условиях постнумерандо S = 233.9 млн. рублей; при условиях пренумерандо S = 362.6 млн. рублей.
Задача 2.3
Определить наращенную сумму постоянной ренты постнумерандо со сроком погашения 3 года, если платежи вносятся ежеквартально, а их годовая сумма составляет 100 млн. рублей. На вносимые платежи начисляются сложные проценты по ставке 12% годовых.
Рекомендации по решению задачи:
В данном случае платежи осуществляются несколько раз в течение года, проценты – один раз в конце года. Задача решается по формуле р-срочной ренты постнумерандо:
(9)
где р – количество раз осуществления платежа в году (по условию задачи р = 4).
Так же по условиям задачи n = 3, i = 0.12, R = 100.
Решение:
Подставляя значения аргументов в формулу (9), находим наращенную сумму S:
Ответ: S = 347.83 млн. рублей.
Задача 2.4
Для создания сберегательного фонда в конце каждого года вносится платеж в размере 10 млн. рублей. На этот платеж ежеквартально начисляются проценты по ставке 12% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 5 лет.
Рекомендации по решению задачи:
Платежи по условию данной задачи производятся один раз в конце года. Проценты начисляются m раз в году, что заставляет говорить о ренте постнумерандо с m-разовым начислением процентов, которая рассчитывается по формуле:
(10)
Решение:
По формуле (10) находим наращенную сумму постнумерандо с m-разовым начислением процентов:
Ответ: S = 63.49 млн. рублей.
Задача 2.5
Каждые полгода на банковский счет вносится сумма, на которую ежеквартально начисляются проценты по ставке 10% годовых. Годовой размер взносов 100 млн. рублей. Какая сумма накопится на счете за 3 года?
Рекомендации по решению задачи:
В данном примере мы имеем дело с р-срочной рентой постнумерандо с m-развым начислением процентов. Наращенная сумма S этой ренты находится по формуле:
.
(11)
Решение:
На основании формулы (11), производим расчет:
Ответ: S = 350 млн. рублей.
Задача 2.6
Какова текущая стоимость 300 тысяч рублей, полученных через год, если ставка дисконтирования равна 12%, при условии, что проценты начисляются ежемесячно?
Рекомендации по решению задачи:
Уровень процентной ставки в условиях равновесного рынка определяет текущую ценность будущих поступлений денежных средств или потоков платежей. Другими словами, определяется, сколько стоит сейчас один рубль, полученный в будущем. Преобразовав формулу (4) относительно P и обозначив PV = P, D = i, при простом начислении процентов получим:
.
(9)
При сложном начислении процентов:
.
(10)
Или:
.
(11)
Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо и постоянной ренты пренумерандо находится из формул (12) и (13) соответственно:
.
(12)
.
(13)
Решение:
Данная задача решается по формуле (11):
Ответ: Текущая стоимость 300 тысяч рублей при ставке дисконтирования 12% равна 266.24 тысячи рублей, то есть текущая стоимость одного рубля, полученного в будущем примерно равна 0.89.
Задача 2.7
В банк внесено 1.25 млн. рублей под 55% годовых на год. Какая сумма будет накоплена на его счету по истечении указанного срока?
Задача 2.8
На банковский счет внесено 3 000 долларов под 12% годовых.
Какова будет накопленная сумма вклада по истечении трех лет, если проценты начисляются ежемесячно и реинвестируются в сумму вклада?
Задача 2.9
Платежи в форме финансовой ренты размером 13.5 млн. рублей вносятся ежегодно под 44% годовых. Определить сумму, которая образуется на счете за 3 года.
Задача 2.10
Платежи в размере 100 тысяч рублей производятся в течение 5 лет под 60% годовых. Какова будет итоговая сумма, если платежи вносятся в начале каждого периода?
Задача 2.11
Определить наращенную сумму постоянной ренты постнумерандо со сроком погашения 4 года, если платежи вносятся ежемесячно, а их годовая сумма составляет 1.5 млн. рублей. На вносимые платежи начисляются сложные проценты по ставке 52% годовых.
Задача 2.12
Платежи, годовая сумма которых составляет 2.75 млн. рублей, вносятся постнумерандо в течение 5 лет под 49% годовых. Определить наращенную сумму постоянной ренты.
Задача 2.13
Для создания сберегательного фонда в конце каждого года вносится платеж в размере 100 млн. рублей. На этот платеж каждые 6 месяцев начисляются проценты по ставке 56% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 2 года.
Задача 2.14
В конце каждого года на банковский счет вносится платеж в размере 10 000 долларов. На этот платеж ежеквартально начисляются проценты по ставке 11% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 4 года.
Задача 2.15
Каждый квартал на банковский счет вносится сумма, на которую ежемесячно начисляются проценты по ставке 59% годовых. Годовой размер взносов 100 млн. рублей. Какая сумма накопится на счете за 2 года?
Задача 2.16
Каждые пол года на банковский счет вносится сумма, на которую ежеквартально начисляются проценты по ставке 12% годовых. Годовой размер взносов 100 тысяч Евро. Какая сумма накопится на счете за 3 года?
Задача 2. 17
Планируется в ходе финансовой операции через год получить сумму в размере 3 млн. рублей, если учесть, что ставка дисконтирования равна 62%, а проценты начисляются ежемесячно. Какова текущая стоимость полученной в будущем суммы?
Задача 2. 18
Какова текущая стоимость 120 тысяч Евро, полученных через год, если ставка дисконтирования равна 12%, при условии, что проценты начисляются ежемесячно?