5. Л. В. Канторович: теория линейного программирования

Как известно, в практике хозяйственной деятельности выбор между различными вариантами (планами, решениями) предпо­лагает поиск наилучшего. Когда хозяйка отправляется на рынок для закупки мяса, а проектировщик стремится найти опти­мальный способ размещения станков, они занимаются поиска­ми вариантов, требующих минимума затрат или максимума ре­зультата с учетом определенных ограничений (денег, ресурсов, времени).

Решить подобную задачу бывает непросто, особенно при наличии большого числа вариантов. Время и затраты при вы­боре оптимума не всегда оправданны: издержки поиска и перебора вариантов могут превысить достигнутый выигрыш.

Как показывает практика, опыт и интуиция оказываются недостаточными для обоснования оптимального решения.

138

Более надежный и эффективный способ — использование мате­матических (количественных) подходов и расчетов. Однако ма­тематические подходы и обоснования длительное время игно­рировались теоретиками, делавшими “погоду” в экономической науке. Многие важные работы были заморожены, публикации экономистов-математиков тормозились и ограничивались. И все же в тот период математические изыскания продолжались, даже в условиях гонения на математиков были достигнуты бле­стящие результаты.

Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было откры­тие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912—1986) Метода линейного программирования. Линейное программирование — решение линейных уравнений (уравнений первой степени) по­средством составления программ и применения различных ме­тодов их последовательного решения, существенно облегчаю­щих расчеты и достижение искомых результатов.

За разработку метода линейного программирования, или, как сказано в дипломе Шведской академии наук, за “вклад в теорию оптимального распределения ресурсов”, Л. В. Канторо­вич — единственный из советских экономистов — был удо­стоен Нобелевской премии по экономике (1975 г.). Премия была присуждена ему совместно с американским эконо­мистом Тьяллингом Чарльзом Купмансом; который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную ме­тодологию.

Разработка линейного программирования началась с поиска решения практической задачи. К Канторовичу обратились ин­женеры фанерного треста с просьбой найти эффективный спо­соб распределения ресурсов, обеспечивающий наиболее высо­кую производительность оборудования. Работники предприятия ломали голову над тем, как при пяти станках, восьми видах сырья обеспечить оптимальный вариант выпуска фанеры. Ины­ми словами, нужно было найти решение конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией (“функциона­лом”) — максимизировать выпуск готовой продукции.

Заслуга Канторовича в том, что он предложил математиче­ский метод выбора оптимального варианта. Решая частную за­дачу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного про­граммирования. По сути дела, он открыл новый раздел в ма­тематике, получивший широкое распространение в экономи-

139

ческой практике; способствовавший развитию и использование электронно-вычислительной техники.

Канторович не был “чистым” экономистом, но прекрасно понимал, какое значение имеет метод максимизации при ограниченных ресурсах, а значит, и создание математической основы для решения типичных хозяйственных задач.

Условия задачи на оптимум и цель, которая должна быть достигнута, могут быть выражены с помощью системы линейных уравнений. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, задача обычно имеет не одно, а множество решений. Найти же нужно одно, согласно терминологии математиков, экстре­мальное решение.

В задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович пред­ставил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители были представлены в форме уравнений, уста­навливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков. Для показателей факторов про­изводства были введены коэффициенты, названные разреша­ющими множителями, или мультипликаторами. С их помощью разрешается поставленная задача. Если известны значения раз­решающих множителей, то искомые величины, в частности, оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть срав­нительно легко найдены.

Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представ­ляют не что иное, как предельные стоимости ограничивающих факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каж­дого из факторов производства применительно к условиям пол­ностью конкурентного рынка.

Для решения задачи на оптимум Канторович использовал метод последовательных приближений, последовательного со­поставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.

Допустим, требуется решить транспортную задачу, обосно­вать наиболее рациональное распределение грузопотоков. Для примера, всего нужно перевезти 180 т груза из трех источников к трем потребителям, общий спрос которых также равен 180 т. Сложность в том, что груз распределен неравномерно: у одного поставщика имеется 50 т, у другого — 60, у третьего — 70 т.

140

Также неравнозначен спрос потребителей, он составляет соот­ветственно 40, 85 и 55 т. Неодинаковы и расстояния (плечи) перевозки грузов — от 1 до 6 км. Задача заключается в том, чтобы составить такой план перевозок, который отвечал бы требованию минимизации грузооборота (минимальному коли­честву тонно-километров).

Как решить эту задачу? В повседневной практике менеджеры могут заняться монотонной работой по длительному перебору возможных вариантов. Постепенно они смогут прийти от плана перевозок, скажем, 750 т/км к плану 655 т/км. Поиск потребует массу усилий, значительного количества расчетов. Главное же, трудно установить, какой из предлагаемых вариантов” является оптимальным. Допустим, найден вариант плана с грузооборотом в 575 т/км. Но остается неизвестным, есть ли еще один или несколько более выгодных вариантов плана, требующих мень­ших затрат.

Задача становится совсем неразрешимой, если перейти от сравнительно простой схемы к постановке задания по состав­лению варианта перевозок одного или нескольких продуктов (угля, цемента, стройматериалов) в масштабе региона или стра­ны. Даже в случае укрупнения, агрегирования исходных по­казателей (количество отправителей и получателей массовых трудов) окажется, что только сетевая схема будет охватывать десятки тысяч агрегированных пунктов, а расчеты и сопостав­ление вариантов потребуют проведения такого количества операций, для осуществления которых придется привлечь чуть ли не все население России.

Впервые работа, в которой излагалась сущность предложен­ного Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием “Математические методы организации планирования производства”. Продолжая исследования, ученый разрабатывает общую теорию рационального использования ресурсов.

В период Великой Отечественной войны Канторович, будучи профессором Военно-морской инженерной академии в блокад­ном Ленинграде, обосновывает, опираясь на метод линейного программирования, оптимальное размещение производствен­ных и потребительских факторов. Подготовленная им в 1942 г. книга “Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов”, к сожалению, в тот период не была опубликована.

Позже издается одна из наиболее крупных его работ “Эконо­мический расчет наилучшего использования ресурсов” (1959).

141

В этой книге, как отмечали члены Научного совета по применению математики в научных исследованиях и планировании, представлен углубленный анализ идей линейного прграммирования, разработанного автором ранее, и вместе с тем впервые ставится проблема разработки оптимального плана всего народного хозяйства как математической модели³⁹.

Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойственных оценок в задачах линейного программирования Нельзя одновременно минимизировать затраты и максимизировать результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода взаимосвязаны, если, скажем, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности.

Для любой задачи линейного программирования существует сопряженная ей, или двойственная, задача. Если прямая задача заключается в минимизации целевой функции, то двойствен­ная — в максимизации.

Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, то изменяются и оценки. В известной мере поиск опти­мума — это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные за­траты, а с другой стороны, общественные потребности, полез­ности продукта для потребителей.

При знакомстве с работами по линейному программированию можно встретиться с некоторыми терминологическими тонкостями. Первоначально использованный Канторовичем термин “разрешающие множители” в последующих работах по­лучает несколько иную интерпретацию и другую формулировку, а именно объективно обусловленные оценки. Эти оценки не произвольны, их величины носят объективно обусловленный характер, они задаются конкретными условиями задачи. Зна­чения объективно обусловленных оценок годятся только для данной задачи,

Канторович предлагал рассчитывать их при разработке планов; на эти показатели призваны опираться предприятия при расчете затрат и объемов выпуска тех или иных видов продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в

142

зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Такого рода расчеты, внедренные в практику планирования и управления, призваны оптимизировать использование ресурсов.

Идеи и предложения, выдвигавшиеся Канторовичем, пре­дусматривали использование в практике хозяйствования ры­ночных категорий. По сути, в то время шел поиск, формиро­вались предпосылки концептуальной основы реформирования существующей экономической системы.

При активном участии Канторовича и его ближайших кол­лег и друзей — Виктора Валентиновича Новожилова (1892— 1970), Василия Сергеевича Немчинова (1894—1964) во, второй половине 50-х — начале 60-х гг. формируется отечественная экономико-математическая школа. Все трое продолжали раз­работку методов линейного программирования, строили эко­номические модели, перейдя затем к разработке системы мо­делей, получивших название СОФЭ (системы оптимального функционирования экономики).