3.1.3.3. Закон Ома в операторной форме.

Введем в рассмотрение операторное сопротивление Z(p) участка цепи, которое определим как отношение операторного напряжения к операторному току участка цепи при нулевых начальных условиях:

(3.9)

где - операторная проводимость.

Рассмотрим в качестве простейших участков цепи отдельные элементы: резистор, катушку индуктивности и конденсатор.

Резистор. Мгновенные ток и напряжение связаны законом Ома: . Преобразуем обе части этого равенства по Лапласу и получим закон Ома для резистора в операторной форме:

(3.10)

Операторные сопротивления и проводимость:

(3.11)

Катушка индуктивности. Напряжение u(t) и ток i(t) в катушке связаны соотношением .

Будем предполагать нулевые начальные условия i_L(0)=0. Преобразуем обе части этого равенства по Лапласу.

Тогда согласно свойствам (3.1) и (3.2) получим:

(3.12)

АЭП. 3.1.17. 05.08.11. 02.10.11

Полученное соотношение, также как и (3.10), является алгебраическим (без операций дифференцирования или интегрирования) и его можно назвать законом Ома в операторной форме для индуктивности. При этом операторные сопротивление и проводимость индуктивности

(3.13)

Конденсатор. Связь между током и напряжением на емкостном элементе . При нулевых начальных условиях (u_c(0)=0) после преобразования этого равенства по Лапласу получим закон Ома в операторной форме для емкостного элемента:

; . (3.14)

Соответствующие операторные сопротивление и проводимость

; . (3.15)

Таким образом, закон Ома в операторной форме выполняется для всех трех элементов электрических цепей и может быть записан в обобщенном виде:

; ; ; (3.16)

4. Передаточная функция.

В общем случае процессы, происходящие в системах автоматического управления, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены лишь в отдельных частных случаях. Однако для большого числа систем эти уравнения могут быть линеаризованы. При этом процессы в САУ будут описываться линейными дифференциальными уравнениями:

Дифференциальное уравнение элемента системы в общем случае имеет вид:

, (5-1)

где Хвых(t) - выходная величина элемента (в отклонениях от состояния равновесия)

Хвх(t) - входная величина элемента (в отклонениях от состояния равновесия),

n>m.

В стационарных системах коэффициенты дифференциального уравнения (1) a_i, b_i - постоянные величины. Решение даже линейного уравнения (1) связано с вычислительными трудностями. Поэтому для анализа линейных САУ используют метод основанный на преобразовании Лапласа.

Применив к дифференциальному уравнению (1) преобразование Лапласа, получим и вынеся в уравнение Хвых(р) и Хвх(р) за скобки, получим:

АЭП. 3.1.18. 05.08.11. 02.10.11

(5-8)

где Xвых(p) - преобразование Лапласа выходного сигнала системы; т.е. изображение сигнала Хвыx(t) ,

где Xвх - преобразование Лапласа входного сигнала, т.е. изображение сигнала Хвx(t ),

p = d/dt ; p² = d²/dt² ; и т.д.

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений.

Кроме того, преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу даёт возможность ввести чрезвычайно удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства любого элемента системы.

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем.

Определим из уравнения (5-8) отношение изображения выходной величины к изображению входной

(5.9)

Отношение изображения выходной величины элемента системы к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента системы.

Передаточная функция W(p) является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р:

Где (5-10)

полином степени n, полином степени m.

Из уравнения (5-9) следует, что передаточная функция элемента системы W(p) и изображение его входной величины определяют изображение выходной величины:

Хвых(р)=W(p)*Хвх(р). (5-11)

Так как передаточная функция системы полностью определяет её динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению её передаточной функции.

Так как элементы системы обладают свойством детектирования, то с учетом выражения (5-8), для анализа переходных процессов в системе со сложной структурной схемой передаточная функция последней разбивается на простые, так называемые типовые элементы.

АЭП. 3.1.19. 05.08.11.