2. Анализ электрических цепей методом

КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

2.1 Проведен расчет цепи представленной на рисунке 2.1

Рисунок 2.1 – схема электрическая принципиальная.

Параметры элементов приведены в таблице 2.1

Таблица 2.1

Элемент	Параметр
е1	4sin102t В
e2	30sin102t В
R1	50 Ом
R2	10 Ом
R3	50 Ом
R4	5 Ом
L1	0.2 мГн
L2	10 мГн
L3	0.5 мГн
L4	10 мГн
L5	5 мГн
C1	5000 пФ
C2	400 пФ

Для расчета приведенная схема на рисунке 2.1 заменяется эквивалентной схемой, в которой элементы представлены в виде эквивалентных комплексных сопротивлений . Преобразованная схема представлена на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 – эквивалентная схема

По эквивалентной схеме составляется система уравнений. В ее состав входят топологические и компонентные уравнения. Топологические уравнения составляются по 1 и 2 закону Кирхгофа. Количество уравнений по 1 закону Кирхгофа определяется по формуле:

m = q – 1 (2.1)

где q – количество узлов.

m = 3 – 1 = 2

Количество уравнений по 2 закону Кирхгофа определяется по формуле:

n = p – q + 1 (2.2)

где p – количество ветвей.

n = 5 – 3 + 1 = 3

Количество компонентных уравнений равно числу ветвей, а для данной схемы их число равно 5. Таким образом система уравнений необходимая для расчета данной схемы состоит из 10 уравнений.

Уравнения записанные по 1 закону Кирхгофа:

для 1 узла (2.3)

для 2 узла (2.4)

Уравнения записанные по 2 закону Кирхгофа:

для I контура (2.5)

для II контура (2.6)

для III контура (2.7)

Компонентные уравнения:

для 1 ветви (2.8)

для 2 ветви (2.9)

для 3 ветви (2.10)

для 4 ветви (2.11)

для 5 ветви (2.12)

Комплексные сопротивления Z_{1 …} Z₅ вычисляются по формуле

(2.13)

где R – активное сопротивление, Ом;

X_L – индуктивное сопротивление;

X_C – емкостное сопротивление.

X_L – вычисляется по формуле:

X_L = jL (2.14)

где  - угловая частота  = 10³ рад/с;

L – индуктивгость, Гн.

X_С – вычисляется по формуле:

(2.15)

где С – емкость, Ф.

По формуле 2.13 вычисляются Z₁ … Z₅

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Подставив уравнения 2.8 – 2.12 в уравнения 2.5 – 2.7, а так же подставив полученные значения комплексных сопротивления в уравнения 2.8 – 2.12, получим систему уравнений состоящую из 5 уравнений и 5 неизвестных. При этом е₁ и е₂ переводятся в комплексную форму записи способом рассмотренным в пункте 1:

В

В

Окончательная система уравнений имеет вид:

Данная система вычисляется на ЭВМ с помощью программы Mathcad.

В результате:

Подставив значения токов в уравнения 2.8 – 2.12 получим значения напряжений :

Все значения токов и напряжений из комплексной формы переводятся в мгновенные значения токов и напряжений с помощью способов рассмотренных в пункте 1:

I₁ = 0,09cos(10²t+62) А

I₂ = 0,09 cos(10²t+62) А

I₃ = 2*10^-5 cos(10²t-27) А

I₄ = 1,7*10^-6 cos(10²t-27) А

I₅ = 2,2*10^-5 cos (10²t-27) А

U₁ = 9,2 cos(10²t+88) В

U₂ = 0,95 cos (10²t+68) B

U₃ = 41,5 cos(10²t+63) B

U₄ = 42 cos(10²t+63) B

U₅ = 42 cos(10²t+63) B

Проверка вычислений осуществляется с помощью баланса мощностей:

(2.17)

где P_Sист – действующее значение мощности источника энергии;

P_{Sпотреб} – действующее значение мощности потребителя энергии;

N – количество источников напряжения;

М – количество источников тока;

Н – количество потребителей энергии.

Действующее значение мощности P_S вычисляется по формуле:

P_S = UI (2.18)

где U – действующее значение напряжения, В;

I – действующее значение тока, А.

Действующее значение напряжения U вычисляется по формуле:

(2.19)

Действующее значение тока I вычисляется по формуле:

(2.20)

С помощью выражений 2.17 – 2.20 проверяется баланс мощностей:

Вывод: Рассчитаны мгновенные значения напряжений и токов для электрической цепи представленной на рисунке 2.1. В результате проверки с помощью баланса мощностей доказана правильность вычислений с небольшими погрешностями в арифметических вычислениях.