МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра РТ и С

Расчётно-Графическая работа

по дисциплине ОТЦ на тему:

Методы формирования уравнений

электрического равновесия цепей

Вариант 5

Выполнил: ст. гр. РТ-21

Проверил: доцент, к.т.н.

Калачев Е. Н.

Йошкар-Ола

2007

ВВЕДЕНИЕ

В электрических цепях, содержащих активные элементы (электронные лампы, транзисторы, операционные усилители и другие зависимые источники) важным режимом работы является статический. В статическом режиме на электроды активного элемента подаются постоянные токи и напряжения, обеспечивающие заданные условия работы того или иного устройства. Статический режим характеризуется зависимостями между постоянными токами и напряжениями в отдельных частях электрической цепи и является одним из основных режимов работы любого электрического устройства. Поэтому анализ цепей в режиме постоянного тока играет важную роль в общей теории электрической связи.

При постоянном токе и напряжении индуктивность эквивалентна КЗ участку, а емкость – разрыву цепи. Таким образом, в режиме постоянного тока в модели цепи будут отсутствовать реактивные элементы, и она приобретет чисто резистивный характер. Линейные резистивные цепи полностью описываются системой линейных алгебраических уравнений, составляемых на основании закона Кирхгофа.

Метод расчета электрической цепи, основанный на законах Кирхгофа, в которых независимыми переменными являются токи в ветвях, называют методом токов ветвей. В соответствии с этим методом для нахождения токов или напряжений ветвей составляются (n_y – 1) уравнений по ЗТК и (n_B–n_y+1) уравнений по ЗНК. В результате получаем систему из (n_y – 1) + (n_B–n_y+1) = n_B линейно-независимых уравнений, число которых равно числу токов ветвей. Совместное решение этой системы позволяет найти все токи.

Метод наложения. В основе метода лежит принцип суперпозиции (наложения), линейных электрических цепей. Этот метод применяется в случае, когда в цепи действует несколько источников напряжения или тока. При этом в соответствии с этим принципом находят частичные токи и напряжения, а результирующие реакции определяются путем алгебраического суммирования частичных токов и напряжений.

Метод контурных токов. Данный метод позволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров. В его основе лежит введение в каждый контур условного контурного тока I_k,направление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК.

Метод узловых потенциалов является наиболее общим и широко применяется для расчета электрических цепей, в частности, в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем.

Метод эквивалентного генератора базируется на теореме об активном двухполюснике и позволяет упростить решение многих задач, связанных с передачей сигналов и электрической энергии от источника к приемнику. При этом обычно источник рассматривается как активных двухполюсник с известными задающими напряжениями U_г или током I_г и внутренними сопротивлением R_г или проводимостью G_г, а приемник – как пассивный двухполюсник с внутренним сопротивлением нагрузки R_н или проводимостью G_н.

1. УравнениЯ электрического равновесия цепи

1.1. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи для схемы, приведенной на рис.1.

(3)

Рис.1

Параметры элементов приведены в таблице 1.

Таблица 1

E1	E2	E3	E4	E5	E6	R1	R2	R3	R4	R5	R6
-10	0	-10	0	10	0	10	100	10	100	10	100

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа будет определяется по формуле m = q – 1, где q – количество узлов.

m = q – 1= 4-1=3;

Для первого узла -i₁-i₂+i₃=0

для второго узла -i₃+i₅+i₆=0

Для третьего узла i₄-i₅-i₆=0

Количество уравнений по второму закону Кирхгофа определяется по формуле:

n = p – q + 1, где p – количество ветвей.

n = 5 – 3 + 1 = 3;

Для первого контура u₁-u₂=0

Для второго контура u₂+u₃+u₄+u₅=0

Для третьего контура -u₅+u₆=0

Количество компонентных уравнений равно числу ветвей, а для данной схемы их число равно 6.

Для первой ветви u₁=i₁R₁-E₁

Для второй ветви u₂=i₂R₂-E₂

Для третьей ветви u₃=i₃R₃-E₃

Для четвёртой ветви u₄=i₄R₄+E₄

Для пятой ветви u₅=i₅R₅+E₅

Для шестой ветви u₆=i₆R₆+E₆

Таким образом, система уравнений необходимая для расчета данной схемы состоит из 12 уравнений.

Решая совместно компонентные и топологические уравнения найдем неизвестные токи и напряжения ветвей, а зная последние, используя компонентные уравнения, определим токи и напряжения на элементах, которые равны:

i₁ = -0,2908 А

i₂ = 0,07092 А

i₃ = -0,21988 А

i₄ = -0,21988 А

i₅ = -02908 А

i₆ = 0,07092 А

u₁ = 7,092 В

u₂ = 7,092 В

u₃ = 7,8012 В

u₄ = -21,988 В

u₅ = 7,092 В

u₆ = 7,092 В

Вывод: Составили основную систему уравнений электрического равновесия цепи, схема которой изображена на рисунке 1. Определили величины токов и напряжений этой цепи.

2. Методы, основаные на непосредственном

применении законов Кирхгофа

2.1 Используя метод токов ветвей, найдем напряжение ветвей для электрической цепи приведенной на рис.1.

П одставляя компонентные уравнения в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, получаем в сочетании с уравнениями по первому закону Кирхгофа сокращенную систему уравнений электрического равновесия цепи:

i₁R₁-E₁-i₂R₂+E₂=0

i₂R₂-E₂+i₃R₃-E₃+i₄R₄+E₄+i₅R₅+E₅=0

-i₅R₅-E₅+i₆R₆+E₆=0

-i₁-i₂+i₃=0

-i₃+i₅+i₆=0

i₄-i₅-i₆=0

Решив данную систему, получаем:

i₁ = -0,2908 А

i₂ = 0,07092 А

i₃ = -0,21988 А

i₄ = -0,21988 А

i₅ = -02908 А

i₆ = 0,07092 А

Подставляя данные значения токов в компонентные уравнения, находим напряжения ветвей:

u₁ = 7,092 В

u₂ = 7,092 В

u₃ = 7,8012 В

u₄ = -21,988 В

u₅ = 7,092 В

u₆ = 7,092 В

2. Используя метод напряжений ветвей, найдем токи ветвей электрической цепи.

Выразим из компонентных уравнений токи i₁, i₂, i₃, i₄, i₅, i₆ и подставим их в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа. В сочетании с уравнениями по второму закону Кирхгофа получим сокращенную систему уравнений электрического равновесия цепи.

u₁-u₂=0

u₂+u₃+u₄+u₅=0

-u₅+u₆=0

Решив данную систему получаем:

u₁ = 7,092 В

u₂ = 7,092 В

u₃ = 7,8012 В

u₄ = -21,988 В

u₅ = 7,092 В

u₆ = 7,092 В

Подставляя данные значения напряжений в компонентные уравнения, получаем значения токов:

i₁ = -0,2908 А

i₂ = 0,07092 А

i₃ = -0,21988 А

i₄ = -0,21988 А

i₅ = -0,2908 А

i₆ = 0,07092 А

Вывод: в данной работе мы рассчитали токи и напряжения с помощью двух методов: метода токов ветвей и метода напряжений ветвей. В результате и в первом, и во втором случае мы пришли к одному и тому же ответу.