Министерство образования и науки Российской Федерации
Марийский Государственный Технический Университет Кафедра Радиотехники Расчётно-Графическая работа по
дисциплине ОТЦ на тему:
Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии.
(Вариант №37)
Выполнил: ст. гр. РТб-21
Проверил: доцент, к.т.н.
Калачев Е.Н./_________/
Йошкар-Ола
2010
Введение
Электрические цепи могут находиться под воздействием постоянных или переменных напряжений и токов.
Среди этих воздействий важную роль играют гармонические колебания. Последние широко используются для передачи сигналов и электрической энергии, а также могут применяться в качестве простейшего испытательного сигнала. Исследование режима гармонических колебаний важно и с методической точки зрения, поскольку анализ электрических цепей при негармонических воздействиях можно свести к анализу цепи от совокупности гармонических воздействий. Гармоническое колебание характеризуется следующими основными параметрами: амплитудой; угловой частотой; начальной фазой. Гармонические колебания можно представить различными способами: функциями времени (временные диаграммы); вращающимися векторами (векторные диаграммы); комплексными числами; амплитудными и фазовыми спектрами. Тот или иной способ представления применяется в зависимости от характера решаемой задачи.
1. Гармонические функции, Основы метода комплексных амплитуд
1.1 Гармоническая функция a(t) имеет вид:
а(t) = Amcos(t+) = Amsin(t+’), (1.1)
где Am – амплитуда;
– угловая частота;
- начальная фаза (для записи функции в косинусоидальной форме);
’ – начальная фаза (для записи функции в синусоидальной форме),
’ = + /2 ( = ’ - /2).
Действующее значение А находится по формуле:
.
(1.2)
Частота находится по формуле:
Гц. (1.3)
Период находится по формуле:
с. (1.4)
С помощью выражений (1.1…1.4) определяются основные параметры заданных функций:
1) i1(t) = 0,9sin6280 t мA
Пользуясь выражением 1.1 находим:
Im = 0,9 мA,
= 6280 рад/с,
= 0
Действующее значение тока находится по формуле 1.2
мА.
Частота тока находится по формуле 1.3
Гц.
Период тока находится по формуле 1.4
с.
2) i2(t) = 30cos(300 t -48) мA
Im =30 мA,
= 300 рад/с,
= -48,
мА,
Гц,
мс,
3) u1(t) = 17sin(10 t +10) В
Um = 17 В,
= 10 рад/с,
= 10,
В,
Гц,
с.
4) u2(t) = 0,4cos(100 t + /8) В
Um = 0,4 В,
= 100 рад/с,
=/8 ,
В,
Гц,
с.
1.2 Определение мгновенных комплексов, комплексных амплитуд, комплексных действительных значений для заданных гармонических токов и напряжений:
1) i1(t) = 0,9sin6280 t мkA
Комплексная
амплитуда
находится по формуле:
,
(1.5)
где Im – амплитудное значение;
– начальная фаза.
мkА.
Комплексное
действующее значение
находится по формуле:
,
(1.6)
мkА.
Мгновенный
комплекс
находится по формуле:
,
(1.7)
где - угловая частота.
мkА.
2) i2(t) = 30cos(300 t -48) мA
Комплексная амплитуда находится по формуле 1.5
мА.
Комплексное действующее значение находится по формуле 1.6
мА.
Мгновенный комплекс находится по формуле 1.7
мА.
3) Мгновенный комплекс, комплексная амплитуда и комплексное действующее значение напряжения находится аналогичным образом, но в формулах 1.5, 1.6, 1.7 токи заменяются на напряжения.
u1(t) = 17cos(10 t + 10) В
В,
В,
В.
4) u2(t) = 0,4sin(100 t + /8) В
В,
В,
В.
1.3 Перейти от алгебраической формы записи комплексных действующих значений токов и напряжений, указанных в таблице 1.1, к показательной форме записи их комплексных амплитуд.
Таблица 1.1
Ток |
Напряжение |
||
|
|
|
|
j25 A |
1-j8 A |
-1,1-j0,6 мВ |
15+j10 мкВ |
Выполним данное задание для первого примера = j25 A .
Алгебраической
формой записи комплексного числа
соответствует выражение вида:
, (1.8)
где
,
- действительные числа, называемые
вещественной и мнимой составляющими
комплексного числа:
- мнимая единица.
К
аждому
комплексному числу
можно поставить в соответствие вектор
,
проведенный из начала координат в точку
А (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Длину вектора,
изображающего комплексное число,
называют модулем этого числа:
.
(1.9)
А.
Угол
,
образуемый вектором
с положительным направлением вещественной
оси, называют аргументом комплексного
числа:
. (1.10)
Положительное направление отсчёта угла - против часовой стрелки.
0
Как
видно из рис.1, вещественная А` и мнимая
А`` части комплексного числа
есть соответственно проекции вектора
на действительную и мнимую оси:
,
.
(1.11)
Подставляя соотношение (1.11) в выражение (1.8), можно перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической:
. (1.12)
Используя формулу
Эйлера:
,
где е – основание натурального логарифма,
можно записать комплексное число в
показательной форме:
. (1.13)
А.
Проведя аналогичные вычисления для других примеров, получаем результаты, которые занесены в таблицу 1.2.
Таблица 1.2
|
|
|
|
|
|
|
|
А
А
мВ
мкВ
1.4 Записать выражения для мгновенных значений напряжений, соответствующих выражениям комплексных амплитуд токов и напряжений, полученным в пункте 1.3. Частота токов и напряжений одинакова и равна 1000 Гц.
Зная комплексные амплитуды токов и напряжений, можно однозначно установить амплитуды и начальные фазы гармонических колебаний, а при известной частоте/можно записать мгновенные значения токов и напряжений.
Пример: при
частоте
Гц
определить мгновенное значение тока
для первого случая,
комплексное действующее значение
которого равно
А.
Амплитуда тока
равна
,
начальная фаза
,
тогда мгновенное значение гармонического
тока:
Проведя аналогичные вычисления для других примеров, получаем результаты, которые занесены в таблицу 1.3.
Таблица 1.3
|
|
|
|
|
|
|
|
мкА
мВ
мкВ
1.5 Построить временные диаграммы мгновенных токов и напряжений, определенных в пункте 1.4.
Построение графика
следует начать с определения масштабов
по осям координат. На оси абсцисс
откладываем время таким образом, чтобы
уложилось два периода гармонического
колебания. По оси ординат - ток или
напряжение. При построении графиков
необходимо учитывать начальную фазу.
Если
,
то начало координат находится вправо
относительно ближайшего максимума
гармонической функции, если
,
то - влево.
Временные
диаграммы мгновенных токов и напряжений
(
)
представлены на рисунках 1.2-1.5
соответственно:
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Рис. 1.4
Рис. 1.5